Страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.12. Докажите, что функция, обратная к линейной функции $y = kx + b$ при $k \ne 0$, также является линейной.

3.12.

Дана линейная функция $y = kx + b$ с условием, что коэффициент $k \neq 0$. Линейная функция в общем виде записывается как $y = mx + c$, где $m$ и $c$ — константы. Нам нужно доказать, что функция, обратная к данной, также имеет такой вид.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выполнить следующие действия:

1. В исходном уравнении $y = kx + b$ поменять местами переменные $x$ и $y$.
2. Из получившегося уравнения выразить $y$ через $x$.

Выполним первый шаг. Исходное уравнение: $y = kx + b$.
После замены переменных получаем: $x = ky + b$.

Теперь выполним второй шаг — выразим $y$ из уравнения $x = ky + b$.
Перенесем $b$ в левую часть уравнения:
$ky = x - b$

Так как по условию $k \neq 0$, мы имеем право разделить обе части уравнения на $k$:
$y = \frac{x - b}{k}$

Чтобы показать, что полученная функция является линейной, приведем ее к стандартному виду $y = mx + c$. Для этого разделим выражение в правой части почленно:
$y = \frac{1}{k}x - \frac{b}{k}$

Полученное уравнение $y = \frac{1}{k}x - \frac{b}{k}$ описывает линейную функцию, так как оно имеет вид $y = m'x + c'$, где:

• Новый угловой коэффициент $m' = \frac{1}{k}$
• Новый свободный член $c' = -\frac{b}{k}$

Поскольку $k$ и $b$ являются константами и $k \neq 0$, то $m'$ и $c'$ также являются константами. Следовательно, обратная функция является линейной.

Ответ: Функция, обратная к линейной функции $y = kx + b$ (при $k \neq 0$), задается уравнением $y = \frac{1}{k}x - \frac{b}{k}$ и также является линейной, что и требовалось доказать.

3.13. Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.

Пусть функция $f(x)$ является нечётной и имеет обратную функцию $g(x) = f^{-1}(x)$. Для того чтобы функция $f(x)$ имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно-однозначной (биективной) на своей области определения.

По определению нечётной функции, её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$), и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Нам необходимо доказать, что обратная функция $g(x)$ также является нечётной. Для этого нужно доказать два условия:

1. Область определения функции $g(x)$, то есть $D(g)$, симметрична относительно нуля.
2. Для любого $y \in D(g)$ выполняется равенство $g(-y) = -g(y)$.

Проведём доказательство по пунктам.

1. Доказательство симметричности области определения $D(g)$

Область определения обратной функции $D(g)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $D(g) = E(f)$. Область значений обратной функции $E(g)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$, то есть $E(g) = D(f)$.

Возьмём произвольное число $y$ из области определения обратной функции, $y \in D(g)$. Поскольку $D(g) = E(f)$, это означает, что $y$ принадлежит области значений функции $f(x)$. Следовательно, существует такое число $x \in D(f)$, что $f(x) = y$.

Так как $f(x)$ — нечётная функция, её область определения $D(f)$ симметрична. Значит, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$. Для этого $-x$ мы можем найти значение функции: $f(-x) = -f(x)$. Подставив $f(x) = y$, получаем: $f(-x) = -y$.

Это равенство показывает, что значение $-y$ также принадлежит области значений функции $f(x)$, то есть $-y \in E(f)$. А так как $D(g) = E(f)$, то и $-y \in D(g)$. Мы показали, что для любого $y \in D(g)$ ему противоположное число $-y$ также принадлежит $D(g)$. Таким образом, область определения $D(g)$ симметрична относительно нуля. Первое условие доказано.

2. Доказательство равенства $g(-y) = -g(y)$

Пусть $y \in D(g)$. Обозначим $g(y) = x$. По определению обратной функции, это эквивалентно равенству $f(x) = y$.

Теперь рассмотрим выражение $g(-y)$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $-y \in D(g)$. Мы установили, что из $f(x) = y$ и нечётности функции $f$ следует, что $f(-x) = -y$.

Применим к обеим частям равенства $f(-x) = -y$ обратную функцию $g$: $g(f(-x)) = g(-y)$.

По определению, композиция функции и её обратной функции даёт тождественную функцию, то есть $g(f(z)) = z$. В нашем случае $z = -x$. Следовательно, $g(f(-x)) = -x$.

Значит, мы получаем равенство: $g(-y) = -x$.

Вспомним наше первоначальное обозначение: $x = g(y)$. Подставим его в полученное равенство: $g(-y) = -g(y)$.

Это равенство справедливо для любого $y \in D(g)$. Второе условие также доказано.

Поскольку оба условия (симметричность области определения и выполнение равенства $g(-y) = -g(y)$) выполняются, мы доказали, что функция $g(x)$, обратная к нечётной функции $f(x)$, также является нечётной.

Ответ: Утверждение доказано.

3.14. Через первую трубу бассейн можно наполнить водой за 9 ч, а через вторую – за 12 ч. Сначала 3 ч была открыта первая труба, потом её закрыли, но открыли вторую. За сколько часов был наполнен бассейн?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1.

Производительность (скорость наполнения) первой трубы составляет $v_1 = \frac{1}{9}$ бассейна в час.

Производительность второй трубы составляет $v_2 = \frac{1}{12}$ бассейна в час.

Сначала первая труба работала 3 часа. За это время она наполнила следующую часть бассейна:
$V_1 = v_1 \times t_1 = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Таким образом, была заполнена $\frac{1}{3}$ бассейна. Оставшаяся незаполненная часть составляет:
$V_{ост} = 1 - V_1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Эту оставшуюся часть ($\frac{2}{3}$ бассейна) наполняла вторая труба. Чтобы найти время, которое ей для этого потребовалось ($t_2$), нужно разделить оставшийся объем на производительность второй трубы:
$t_2 = \frac{V_{ост}}{v_2} = \frac{2/3}{1/12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{1} = \frac{2 \times 12}{3} = \frac{24}{3} = 8$ часов.

Общее время, затраченное на наполнение всего бассейна, равно сумме времени работы первой и второй труб:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = 3 \text{ часа} + 8 \text{ часов} = 11 \text{ часов}.$

Ответ: бассейн был наполнен за 11 часов.

3.15. Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если одной бригаде для этого требуется на 12 ч больше, чем другой?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это время в часах, за которое первая (более быстрая) бригада может вспахать поле, работая в одиночку.

Согласно условию, второй бригаде требуется на 12 часов больше, следовательно, время ее работы составит $(x + 12)$ часов.

Производительность труда — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Примем всю работу (вспашку одного поля) за 1.
Тогда производительность первой бригады равна $\frac{1}{x}$ поля/час.
Производительность второй бригады равна $\frac{1}{x+12}$ поля/час.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. По условию, совместная работа занимает 8 часов, значит, их общая производительность составляет $\frac{1}{8}$ поля/час.
На основе этого составляем уравнение:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$

Решим полученное уравнение. Сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{x+12+x}{x(x+12)} = \frac{1}{8}$
$\frac{2x+12}{x^2+12x} = \frac{1}{8}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):
$8(2x+12) = 1(x^2+12x)$
$16x+96 = x^2+12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2+12x-16x-96 = 0$
$x^2-4x-96 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4+20}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{4-20}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательной величиной. Значит, время работы первой бригады составляет 12 часов.

Теперь вычислим время работы второй бригады:
$x+12 = 12+12 = 24$ часа.

Ответ: одна бригада может вспахать поле за 12 часов, а другая — за 24 часа.

3.16. Равны ли множества $A$ и $B$, если:

1) $A = \{1, 2\}$, $B = \{2, 1\};

2) $A = [-1; 2)$, $B = (-1; 2];

3) $A$ – множество корней уравнения $|x| = x$, $B = [0; +\infty)?

1) Два множества считаются равными, если они содержат одни и те же элементы. Порядок, в котором элементы перечислены в множестве, не имеет значения. Множество $A = \{1, 2\}$ состоит из элементов 1 и 2. Множество $B = \{2, 1\}$ также состоит из элементов 1 и 2. Так как оба множества содержат одинаковые элементы, они равны.
Ответ: Да, множества равны.

2) Множество $A = [-1; 2)$ — это числовой промежуток, который включает все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-1 \le x < 2$. Число -1 принадлежит этому множеству ($ -1 \in A $), а число 2 не принадлежит ($ 2 \notin A $).
Множество $B = (-1; 2]$ — это числовой промежуток, который включает все действительные числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $-1 < x \le 2$. Число -1 не принадлежит этому множеству ($ -1 \notin B $), а число 2 принадлежит ($ 2 \in B $).
Поскольку множества не состоят из одних и тех же элементов (например, элемент -1 есть в $A$, но нет в $B$), они не равны.
Ответ: Нет, множества не равны.

3) Множество $A$ — это множество корней уравнения $|x| = x$. Чтобы найти элементы этого множества, решим уравнение, раскрыв модуль:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $x = x$. Это тождество, верное для всех $x$ из этого промежутка. Следовательно, все числа из промежутка $[0; +\infty)$ являются решениями.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $-x = x$, что равносильно $2x = 0$, откуда $x = 0$. Однако корень $x=0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.
Объединяя результаты, получаем, что множество решений уравнения — это все неотрицательные числа. Таким образом, $A = [0; +\infty)$.
Множество $B$ по условию равно $B = [0; +\infty)$.
Так как множества $A$ и $B$ полностью совпадают, они равны.
Ответ: Да, множества равны.

множество корней уравнения $|x| - x, D = [0, +\infty)$?

3.17. Запишите все подмножества множества $\{-1, 0, 2\}$.

Пусть дано множество $A = \{-1, 0, 2\}$. Подмножеством множества $A$ называется такое множество, каждый элемент которого является также элементом множества $A$.

Исходное множество содержит $n=3$ элемента. Общее количество подмножеств для множества из $n$ элементов определяется формулой $2^n$. Для нашего случая количество подмножеств равно $2^3 = 8$.

Чтобы найти все подмножества, необходимо systematically перечислить все возможные комбинации элементов, включая вариант без элементов (пустое множество) и вариант со всеми элементами (само исходное множество).

Подмножество с 0 элементов: Это пустое множество, которое является подмножеством любого множества. Обозначается как $\emptyset$ или $\{\}$.

Подмножества с 1 элементом: Это подмножества, состоящие из каждого отдельного элемента исходного множества: $\{-1\}$, $\{0\}$, $\{2\}$.

Подмножества с 2 элементами: Это все возможные пары элементов из исходного множества: $\{-1, 0\}$, $\{-1, 2\}$, $\{0, 2\}$.

Подмножество с 3 элементами: Это само исходное множество, так как любое множество является своим собственным подмножеством: $\{-1, 0, 2\}$.

Ответ: $\emptyset$, $\{-1\}$, $\{0\}$, $\{2\}$, $\{-1, 0\}$, $\{-1, 2\}$, $\{0, 2\}$, $\{-1, 0, 2\}$.

3.18. Какие из следующих множеств являются подмножествами множества $A = [-3; +\infty)$:

1) $B = [2; +\infty);$

2) $C = [-3,5; +\infty);$

3) $D = (-1; 2]?$

По определению, множество X является подмножеством множества Y, если каждый элемент множества X также является элементом множества Y. В данном случае нам нужно проверить, какие из множеств B, C и D являются подмножествами множества $A = [-3; +\infty)$. Множество A включает в себя все действительные числа, которые больше или равны -3.

1) $B = [2; +\infty)$
Множество $B$ включает все действительные числа $x$, такие что $x \ge 2$. Чтобы $B$ было подмножеством $A$, необходимо, чтобы для любого элемента $x$ из $B$ выполнялось условие $x \in A$, то есть $x \ge -3$.
Поскольку любое число $x$, удовлетворяющее условию $x \ge 2$, очевидно, удовлетворяет и условию $x \ge -3$ (так как $2 > -3$), то все элементы множества $B$ содержатся в множестве $A$.
Следовательно, $B \subseteq A$.
Ответ: является.

2) $C = [-3,5; +\infty)$
Множество $C$ включает все действительные числа $x$, такие что $x \ge -3,5$. Проверим, все ли элементы этого множества принадлежат множеству $A$.
Рассмотрим, например, число $x = -3,1$. Это число принадлежит множеству $C$, так как $-3,1 \ge -3,5$.
Однако, это число не принадлежит множеству $A$, так как условие $x \ge -3$ для него не выполняется ($-3,1 < -3$).
Поскольку мы нашли элемент в $C$, который не принадлежит $A$, множество $C$ не является подмножеством $A$.
Ответ: не является.

3) $D = (-1; 2]$
Множество $D$ включает все действительные числа $x$, такие что $-1 < x \le 2$. Чтобы $D$ было подмножеством $A$, необходимо, чтобы для любого элемента $x$ из $D$ выполнялось условие $x \in A$, то есть $x \ge -3$.
Для любого числа $x$ из интервала $(-1; 2]$ выполняется двойное неравенство $-1 < x \le 2$. Левая часть этого неравенства, $x > -1$, показывает, что все элементы множества $D$ строго больше -1. Так как $-1 > -3$, то все элементы множества $D$ также больше -3, то есть для любого $x \in D$ выполняется $x \ge -3$.
Следовательно, $D \subseteq A$.
Ответ: является.