Номер 3.13, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.13. Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.

Пусть функция $f(x)$ является нечётной и имеет обратную функцию $g(x) = f^{-1}(x)$. Для того чтобы функция $f(x)$ имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно-однозначной (биективной) на своей области определения.

По определению нечётной функции, её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$), и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Нам необходимо доказать, что обратная функция $g(x)$ также является нечётной. Для этого нужно доказать два условия:

1. Область определения функции $g(x)$, то есть $D(g)$, симметрична относительно нуля.
2. Для любого $y \in D(g)$ выполняется равенство $g(-y) = -g(y)$.

Проведём доказательство по пунктам.

1. Доказательство симметричности области определения $D(g)$

Область определения обратной функции $D(g)$ совпадает с областью значений исходной функции $E(f)$, то есть $D(g) = E(f)$. Область значений обратной функции $E(g)$ совпадает с областью определения исходной функции $D(f)$, то есть $E(g) = D(f)$.

Возьмём произвольное число $y$ из области определения обратной функции, $y \in D(g)$. Поскольку $D(g) = E(f)$, это означает, что $y$ принадлежит области значений функции $f(x)$. Следовательно, существует такое число $x \in D(f)$, что $f(x) = y$.

Так как $f(x)$ — нечётная функция, её область определения $D(f)$ симметрична. Значит, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$. Для этого $-x$ мы можем найти значение функции: $f(-x) = -f(x)$. Подставив $f(x) = y$, получаем: $f(-x) = -y$.

Это равенство показывает, что значение $-y$ также принадлежит области значений функции $f(x)$, то есть $-y \in E(f)$. А так как $D(g) = E(f)$, то и $-y \in D(g)$. Мы показали, что для любого $y \in D(g)$ ему противоположное число $-y$ также принадлежит $D(g)$. Таким образом, область определения $D(g)$ симметрична относительно нуля. Первое условие доказано.

2. Доказательство равенства $g(-y) = -g(y)$

Пусть $y \in D(g)$. Обозначим $g(y) = x$. По определению обратной функции, это эквивалентно равенству $f(x) = y$.

Теперь рассмотрим выражение $g(-y)$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $-y \in D(g)$. Мы установили, что из $f(x) = y$ и нечётности функции $f$ следует, что $f(-x) = -y$.

Применим к обеим частям равенства $f(-x) = -y$ обратную функцию $g$: $g(f(-x)) = g(-y)$.

По определению, композиция функции и её обратной функции даёт тождественную функцию, то есть $g(f(z)) = z$. В нашем случае $z = -x$. Следовательно, $g(f(-x)) = -x$.

Значит, мы получаем равенство: $g(-y) = -x$.

Вспомним наше первоначальное обозначение: $x = g(y)$. Подставим его в полученное равенство: $g(-y) = -g(y)$.

Это равенство справедливо для любого $y \in D(g)$. Второе условие также доказано.

Поскольку оба условия (симметричность области определения и выполнение равенства $g(-y) = -g(y)$) выполняются, мы доказали, что функция $g(x)$, обратная к нечётной функции $f(x)$, также является нечётной.

Ответ: Утверждение доказано.