Номер 2, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Какие уравнения называют равносильными?

2. Какие уравнения называют равносильными?

Равносильными (или эквивалентными) называют два или более уравнения, множества корней (решений) которых полностью совпадают. Это означает, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.

Если уравнения не имеют корней, то их множества решений также совпадают (оба являются пустыми множествами), и такие уравнения тоже считаются равносильными.

Примеры равносильных уравнений:

• Уравнения $x + 2 = 5$ и $3x = 9$ равносильны.

  Корень первого уравнения: $x = 5 - 2$, то есть $x = 3$. Множество решений: $\{3\}$.

  Корень второго уравнения: $x = 9 / 3$, то есть $x = 3$. Множество решений: $\{3\}$.

  Так как множества решений одинаковы, уравнения равносильны.

• Уравнения $x^2 = 25$ и $|x| - 5 = 0$ равносильны.

  Корни первого уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -5$. Множество решений: $\{-5, 5\}$.

  Корни второго уравнения: $|x| = 5$, откуда $x_1 = 5$, $x_2 = -5$. Множество решений: $\{-5, 5\}$.

  Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.

• Уравнения $x^2 = -1$ и $0 \cdot x = 5$ равносильны.

  Первое уравнение не имеет действительных корней. Множество решений пустое: $\emptyset$.

  Второе уравнение не имеет решений, так как нет такого числа, которое при умножении на ноль даст 5. Множество решений пустое: $\emptyset$.

  Поскольку оба уравнения не имеют корней, они равносильны.

Пример неравносильных уравнений:

Уравнения $x^2 = 4x$ и $x = 4$ не являются равносильными.

Решим первое уравнение: $x^2 - 4x = 0 \implies x(x-4) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Множество решений: $\{0, 4\}$.

Корень второго уравнения: $x = 4$. Множество решений: $\{4\}$.

Множества решений не совпадают. Второе уравнение было получено из первого путем деления на $x$, что привело к потере корня $x=0$. Такое преобразование не является равносильным.

Для сохранения равносильности при решении уравнений используют равносильные преобразования, например:

1. Перенос любого члена уравнения из одной части в другую с противоположным знаком.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Ответ: Равносильными называют уравнения, у которых множества всех их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.