Номер 5, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Какие неравенства называют равносильными?

Два неравенства с одной переменной называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Это означает, что любое число, являющееся решением первого неравенства, также является решением второго, и наоборот, любое решение второго является решением первого.

Если оба неравенства не имеют решений (их множество решений – пустое множество, $\emptyset$), то они также считаются равносильными.

Например, неравенства $3x - 6 > 0$ и $x > 2$ являются равносильными. Проверим это, найдя множества их решений:

• Для первого неравенства $3x - 6 > 0$, перенесем $-6$ в правую часть: $3x > 6$. Затем разделим обе части на положительное число 3, сохраняя знак неравенства: $x > 2$. Множество решений этого неравенства — интервал $(2; +\infty)$.
• Второе неравенство $x > 2$ уже представлено в решенном виде, и его множество решений — также интервал $(2; +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны. Равносильность обозначается специальным знаком $\Leftrightarrow$, то есть можно записать: $3x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

Другой пример: неравенства $x^2 < -4$ и $|x| < -1$ также равносильны. Ни одно из них не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, и модуль действительного числа также не может быть отрицательным. Множество решений для обоих неравенств — пустое множество ($\emptyset$), поэтому они равносильны.

При решении неравенств часто используют равносильные преобразования — действия, которые заменяют исходное неравенство другим, более простым, но равносильным ему. Основные такие преобразования:

• Перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
• Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение, которое всегда положительно). При этом знак неравенства сохраняется.
• Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение, которое всегда отрицательно). При этом знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: Равносильными называют два неравенства, если они имеют одинаковые множества решений. В частности, два неравенства, не имеющие решений, также являются равносильными.