Номер 7, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7. Какое неравенство называют следствием данного неравенства?

Неравенство $p(x) > q(x)$ называют следствием неравенства $f(x) > g(x)$, если каждое решение неравенства $f(x) > g(x)$ является также решением неравенства $p(x) > q(x)$.

Иными словами, если обозначить множество решений первого (данного) неравенства буквой $A$, а множество решений второго неравенства (следствия) буквой $B$, то второе неравенство является следствием первого при условии, что множество $A$ является подмножеством множества $B$. Математически это записывается как $A \subseteq B$.

Например, рассмотрим неравенство $x > 5$. Множеством его решений является интервал $A = (5, +\infty)$. Возьмем другое неравенство, $x > 2$. Множество его решений — это интервал $B = (2, +\infty)$. Так как любое число, которое больше 5, автоматически является и большим 2, то каждое решение первого неравенства является решением второго. Интервал $(5, +\infty)$ полностью входит в интервал $(2, +\infty)$, то есть $A \subseteq B$. Следовательно, неравенство $x > 2$ является следствием неравенства $x > 5$.

Рассмотрим еще один пример. Неравенство $x^2 > 9$ является следствием неравенства $x > 3$. Множество решений неравенства $x > 3$ — это $A = (3, +\infty)$. Множество решений неравенства $x^2 > 9$ (что эквивалентно $|x| > 3$) — это $B = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$. Поскольку $(3, +\infty) \subseteq (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$, то $x^2 > 9$ — это следствие $x > 3$. В данном случае множество решений следствия шире, чем у исходного неравенства, оно включает также интервал $(-\infty, -3)$.

Переход к неравенству-следствию — это один из приемов решения неравенств. Однако, поскольку множество решений следствия может быть шире, чем у исходного неравенства, такой переход может привести к появлению посторонних решений. Поэтому при использовании этого метода обязательна проверка всех найденных решений путем их подстановки в исходное неравенство.

Ответ: Следствием данного неравенства называют такое неравенство, которому удовлетворяет любое решение данного неравенства.