Номер 4.3, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.3. Составьте какое-нибудь уравнение, равносильное данному:

1) $|x|=1$;

2) $x+6=x-2$;

3) $\frac{x-1}{x-1}=1$.

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают. Если оба уравнения не имеют решений, они также считаются равносильными. Чтобы составить равносильное уравнение, сначала определим множество решений для каждого из данных уравнений.

1) Дано уравнение $|x| = 1$.

По определению модуля, это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой равно 1. Этому условию удовлетворяют два числа: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, множество решений исходного уравнения — $\{-1, 1\}$.

Нужно составить новое уравнение, которое имеет те же самые решения. Например, уравнение $x^2 = 1$. Его решениями также являются $x = \sqrt{1} = 1$ и $x = -\sqrt{1} = -1$. Следовательно, уравнение $x^2 = 1$ равносильно исходному уравнению.

Ответ: $x^2 = 1$.

2) Дано уравнение $x + 6 = x - 2$.

Попробуем решить это уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$x - x = -2 - 6$

$0 = -8$

В результате мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений (множество решений пустое).

Следовательно, любое другое уравнение, которое также не имеет решений, будет равносильно данному. Например, рассмотрим уравнение $x = x + 5$. Если вычесть $x$ из обеих частей, получим $0 = 5$, что является ложным утверждением. Значит, уравнение $x = x + 5$ также не имеет решений.

Ответ: $x = x + 5$.

3) Дано уравнение $\frac{x-1}{x-1} = 1$.

Это дробно-рациональное уравнение. Прежде всего, найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 1$.

На этой области допустимых значений (то есть для всех $x$, кроме 1) выражение в левой части уравнения $\frac{x-1}{x-1}$ всегда равно 1. Таким образом, уравнение принимает вид $1 = 1$.

Это верное числовое равенство, которое выполняется для любого значения $x$ из ОДЗ.

Следовательно, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x = 1$. Множество решений: $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Нам нужно составить уравнение, которое имеет такое же множество решений. Например, уравнение $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$. Его ОДЗ также $x \neq 1$. Если мы разложим числитель по формуле разности квадратов, получим $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$. После сокращения на $(x-1)$ на ОДЗ, получим тождество $x+1 = x+1$, которое верно для всех $x \neq 1$.

Ответ: $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$.