Номер 4.4, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.4. Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным данному:

1) в уравнении $3(2x - 1) - 5(4x + 2) = 1$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;

2) в уравнении $x^2 + \frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x - 7} = 49$ разность $\frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x - 7}$ заменить нулём;

3) в уравнении $\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 3x - 5 = 0$ сократить дробь;

4) обе части уравнения $x^3 = x$ разделить на $x$;

5) обе части уравнения $(x + 1)(x^2 + 4) = x^2 + 4$ разделить на $x^2 + 4$;

6) обе части уравнения $\frac{x^2}{x} = 2$ умножить на $x$;

7) обе части уравнения $2x + 1 = 5$ умножить на $x + 1$?

1) В уравнении $3(2x - 1) - 5(4x + 2) = 1$ преобразование заключается в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. Это тождественное преобразование, которое не меняет множество решений уравнения, так как оно основано на свойствах чисел и не изменяет область определения уравнения. Область определения как исходного, так и полученного уравнения — все действительные числа. Следовательно, полученное уравнение равносильно данному. Ответ: да.

2) В уравнении $x^2 + \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7} = 49$ область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x - 7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$. На этой области уравнение упрощается до $x^2 = 49$, корнями которого являются $x=7$ и $x=-7$. Однако, корень $x=7$ не входит в ОДЗ исходного уравнения, поэтому его единственным решением является $x=-7$. Преобразование, заменяющее разность $\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7}$ нулём, приводит к уравнению $x^2 = 49$, у которого два корня: $x=7$ и $x=-7$. Поскольку множества решений исходного ($\{-7\}$) и полученного ($\{-7, 7\}$) уравнений не совпадают, уравнения не являются равносильными. Ответ: нет.

3) В уравнении $\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 3x - 5 = 0$ ОДЗ переменной $x$ определяется условием $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Сокращение дроби $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ является верным только при $x \neq 1$. После сокращения получаем уравнение $(x+1) + 3x - 5 = 0$, или $4x - 4 = 0$, корень которого $x=1$. Этот корень не входит в ОДЗ исходного уравнения, следовательно, исходное уравнение не имеет решений. Множество решений исходного уравнения пусто, а нового — $\{1\}$. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.

4) В уравнении $x^3 = x$ деление обеих частей на $x$ является недопустимым преобразованием, если не рассматривать случай $x=0$ отдельно, так как это может привести к потере корня. Исходное уравнение $x^3 - x = 0$ можно записать как $x(x^2 - 1) = 0$, его корни $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. После деления на $x$ получаем уравнение $x^2=1$, корни которого $x=1$ и $x=-1$. В результате преобразования был потерян корень $x=0$. Следовательно, уравнения не равносильны. Ответ: нет.

5) В уравнении $(x + 1)(x^2 + 4) = x^2 + 4$ обе части делятся на выражение $x^2 + 4$. Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \geq 4$. Это означает, что выражение $x^2 + 4$ никогда не равно нулю. Деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число или выражение является равносильным преобразованием. Оно не приводит к потере или приобретению корней. Уравнения равносильны. Ответ: да.

6) В уравнении $\frac{x^2}{x} = 2$ ОДЗ переменной $x$ есть $x \neq 0$. На этой области уравнение равносильно уравнению $x=2$. Таким образом, решение исходного уравнения — $x=2$. Умножение обеих частей на $x$ приводит к уравнению $x^2 = 2x$, или $x^2 - 2x = 0$, которое имеет два корня: $x=0$ и $x=2$. В результате преобразования появился посторонний корень $x=0$, который не входит в ОДЗ исходного уравнения. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.

7) В уравнении $2x + 1 = 5$ решением является $x=2$. Умножение обеих частей на выражение $x+1$ может привести к появлению посторонних корней, а именно тех, при которых это выражение равно нулю, то есть $x=-1$. Новое уравнение $(2x + 1)(x + 1) = 5(x + 1)$ можно преобразовать к виду $(x+1)(2x+1-5)=0$, или $2(x+1)(x-2)=0$. Его корни $x=-1$ и $x=2$. Множество решений нового уравнения $\{-1, 2\}$ не совпадает с множеством решений исходного $\{2\}$. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.