Номер 4.2, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.2. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 6 = 10$ и $2x - 1 = 7;$

2) $x^2 = x$ и $x = 1;$

3) $x^2 + 1 = 0$ и $\frac{3}{x - 1} = 0;$

4) $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1;$

5) $\frac{x - 2}{x - 2} = 0$ и $2x^2 + 3 = 0;$

6) $x^2 + 4x + 4 = 0$ и $\frac{x + 2}{x - 1} = 0;$

7) $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ и $x + 3 = 0;$

8) $\frac{x + 1}{x + 1} = 0$ и $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 0?;$

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x + 6 = 10$. Перенесем 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x = 10 - 6$ $x = 4$ Корень первого уравнения – 4. Множество решений: $\{4\}$. Второе уравнение: $2x - 1 = 7$. Перенесем -1 в правую часть: $2x = 7 + 1$ $2x = 8$ Разделим обе части на 2: $x = \frac{8}{2}$ $x = 4$ Корень второго уравнения – 4. Множество решений: $\{4\}$. Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны. Ответ: Да, равносильны.

2) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x^2 = x$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Корни первого уравнения: 0 и 1. Множество решений: $\{0, 1\}$. Второе уравнение: $x = 1$. Корень этого уравнения – 1. Множество решений: $\{1\}$. Множества решений $\{0, 1\}$ и $\{1\}$ не совпадают, так как первое уравнение имеет корень $x = 0$, которого нет у второго уравнения. Следовательно, уравнения не являются равносильными. Ответ: Нет, не равносильны.

3) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x^2 + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть: $x^2 = -1$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Второе уравнение: $\frac{3}{x - 1} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель дроби равен 3 и никогда не равен нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Поскольку оба уравнения не имеют корней (их множества решений совпадают и являются пустыми), они равносильны. Ответ: Да, равносильны.

4) Рассмотрим множества решений каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$. Это уравнение является верным равенством для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Левая часть определена, если знаменатель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Таким образом, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x = -1$. Множество решений: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Второе уравнение: $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$. Это уравнение верно для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю: $x^2 + 1 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, решением уравнения является любое действительное число. Множество решений: $(-\infty; +\infty)$. Множества решений не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны. Ответ: Нет, не равносильны.

5) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x - 2}{x - 2} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$. Проверим знаменатель при $x = 2$: $x - 2 = 2 - 2 = 0$. Знаменатель равен нулю, что недопустимо. Следовательно, уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Второе уравнение: $2x^2 + 3 = 0$. $2x^2 = -3$ $x^2 = -\frac{3}{2}$ Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Множество решений пусто: $\emptyset$. Поскольку множества решений обоих уравнений пусты, они равносильны. Ответ: Да, равносильны.

6) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x^2 + 4x + 4 = 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x + 2)^2 = 0$ $x + 2 = 0$ $x = -2$ Корень уравнения: -2. Множество решений: $\{-2\}$. Второе уравнение: $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$. Знаменатель: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$. Корень $x = -2$ удовлетворяет условию $x \neq 1$. Следовательно, $x = -2$ является корнем уравнения. Множество решений: $\{-2\}$. Множества решений обоих уравнений совпадают, значит, они равносильны. Ответ: Да, равносильны.

7) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $x^2 - 9 = 0$. Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни числителя: $x = 3$ и $x = -3$. Знаменатель: $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Из двух потенциальных корней ($3$ и $-3$) корень $x=3$ не удовлетворяет условию на знаменатель. Остается только один корень: $x = -3$. Множество решений: $\{-3\}$. Второе уравнение: $x + 3 = 0$. $x = -3$ Множество решений: $\{-3\}$. Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны. Ответ: Да, равносильны.

8) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x + 1}{x + 1} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$. Знаменатель: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Условия $x = -1$ и $x \neq -1$ противоречат друг другу. Уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Второе уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 0$. Числитель: $x^2 - 1 = 0$, откуда $x^2 = 1$, то есть $x = 1$ или $x = -1$. Знаменатель: $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Оба потенциальных корня не удовлетворяют условию на знаменатель. Уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Поскольку множества решений обоих уравнений пусты, они равносильны. Ответ: Да, равносильны.