Номер 4.7, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.7. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $x^2 = x$ и $x = 1;$

2) $\frac{x}{x} = 1$ и $0x = 0;$

3) $|x| = 1$ и $x^3 = 1;$

4) $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$ и $x^2 = 36;$

5) $x^2 = 4$ и $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2};$

6) $\frac{x^2 - 1}{x+1} = 0$ и $x^2 - 1 = 0?$

Уравнение (2) является следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Другими словами, каждый корень уравнения (1) должен быть также корнем уравнения (2).

1) Рассмотрим уравнения $x^2 = x$ и $x = 1$.
Решим первое уравнение: $x^2 - x = 0$, откуда $x(x-1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество корней первого уравнения: $M_1 = \{0, 1\}$.
Второе уравнение $x = 1$ имеет один корень $x=1$. Множество корней второго уравнения: $M_2 = \{1\}$.
Поскольку $M_2 \subset M_1$ (каждый корень второго уравнения является корнем первого), то уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $x=1$.
Ответ: уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $x=1$.

2) Рассмотрим уравнения $\frac{x}{x} = 1$ и $0 \cdot x = 0$.
Первое уравнение $\frac{x}{x} = 1$ определено для всех $x$, кроме $x=0$. На области определения ($x \neq 0$) оно является тождеством $1=1$. Таким образом, множество решений первого уравнения — это все действительные числа, кроме нуля: $M_1 = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Второе уравнение $0 \cdot x = 0$ верно для любого действительного числа $x$. Множество его решений: $M_2 = \mathbb{R}$.
Поскольку $M_1 \subset M_2$, уравнение $0 \cdot x = 0$ является следствием уравнения $\frac{x}{x} = 1$.
Ответ: уравнение $0 \cdot x = 0$ является следствием уравнения $\frac{x}{x} = 1$.

3) Рассмотрим уравнения $|x| = 1$ и $x^3 = 1$.
Решениями первого уравнения $|x| = 1$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Множество корней: $M_1 = \{-1, 1\}$.
Единственным действительным решением второго уравнения $x^3 = 1$ является $x=1$. Множество корней: $M_2 = \{1\}$.
Поскольку $M_2 \subset M_1$, уравнение $|x|=1$ является следствием уравнения $x^3=1$.
Ответ: уравнение $|x|=1$ является следствием уравнения $x^3=1$.

4) Рассмотрим уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$ и $x^2 = 36$.
Область допустимых значений (ОДЗ) первого уравнения: $x-6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$. На ОДЗ уравнение равносильно уравнению $x^2 = 36$, корни которого $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Корень $x=6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому единственным решением первого уравнения является $x=-6$. Множество корней: $M_1 = \{-6\}$.
Второе уравнение $x^2=36$ имеет корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Множество корней: $M_2 = \{-6, 6\}$.
Поскольку $M_1 \subset M_2$, уравнение $x^2=36$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$.
Ответ: уравнение $x^2 = 36$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$.

5) Рассмотрим уравнения $x^2 = 4$ и $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.
Первое уравнение $x^2=4$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Множество корней: $M_1 = \{-2, 2\}$.
ОДЗ второго уравнения: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. На ОДЗ уравнение равносильно уравнению $x^2=4$. Его корни $x=2$ и $x=-2$. Корень $x=-2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому единственным решением второго уравнения является $x=2$. Множество корней: $M_2 = \{2\}$.
Поскольку $M_2 \subset M_1$, уравнение $x^2=4$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.
Ответ: уравнение $x^2=4$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.

6) Рассмотрим уравнения $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$ и $x^2-1 = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, решаем систему: $ \begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} $. Из первого уравнения получаем $x=1$ или $x=-1$. Второе условие $x \neq -1$ исключает корень $x=-1$. Единственное решение первого уравнения: $x=1$. Множество корней: $M_1 = \{1\}$.
Второе уравнение $x^2-1=0$ имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Множество корней: $M_2 = \{-1, 1\}$.
Поскольку $M_1 \subset M_2$, уравнение $x^2-1=0$ является следствием уравнения $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$.
Ответ: уравнение $x^2-1=0$ является следствием уравнения $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$.