Номер 4.13, страница 36 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.13. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + x - 6$;

2) $35 - 2x - x^2$;

3) $2x^2 + 9x - 18$.

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1) $x^2 + x - 6$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=1, c=-6$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь подставим корни в формулу разложения:
$x^2 + x - 6 = 1 \cdot (x - (-3))(x - 2) = (x + 3)(x - 2)$
Ответ: $(x + 3)(x - 2)$

2) $35 - 2x - x^2$

Перепишем трёхчлен в стандартном виде: $-x^2 - 2x + 35$.
Решим уравнение $-x^2 - 2x + 35 = 0$. Для удобства умножим его на $-1$:
$x^2 + 2x - 35 = 0$
Коэффициенты: $a=1, b=2, c=-35$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 12}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 12}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Подставим корни в формулу разложения, учитывая, что у исходного трёхчлена $-x^2 - 2x + 35$ коэффициент $a=-1$:
$-x^2 - 2x + 35 = -1 \cdot (x - (-7))(x - 5) = -(x + 7)(x - 5)$
Внесем знак минус во вторую скобку: $(x + 7)(-(x-5)) = (x + 7)(5 - x)$.
Ответ: $(x + 7)(5 - x)$

3) $2x^2 + 9x - 18$

Решим квадратное уравнение $2x^2 + 9x - 18 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=9, c=-18$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6$
$x_2 = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Подставим корни в формулу разложения:
$2x^2 + 9x - 18 = 2(x - (-6))(x - \frac{3}{2}) = 2(x + 6)(x - \frac{3}{2})$
Чтобы получить целые коэффициенты в скобках, умножим множитель $2$ на вторую скобку:
$(x + 6) \cdot 2(x - \frac{3}{2}) = (x + 6)(2x - 3)$
Ответ: $(x + 6)(2x - 3)$