Номер 2, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Каким свойством обладает функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей?

Функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей, обладает свойством знакопостоянства.

Это означает, что такая функция на всём данном промежутке принимает значения только одного знака: либо все её значения положительны, либо все отрицательны.

Это свойство является прямым следствием теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано — Коши). Давайте докажем это методом от противного.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на промежутке $I$ и для любого $x \in I$ выполняется условие $f(x) \neq 0$.

Предположим, что функция $f(x)$ не сохраняет знак на этом промежутке. Тогда на промежутке $I$ найдутся как минимум две точки, $a$ и $b$, такие что значения функции в этих точках имеют разные знаки. Например, пусть $f(a) > 0$ и $f(b) < 0$.

Рассмотрим отрезок $[a, b]$ (или $[b, a]$), который целиком лежит внутри промежутка $I$. Так как функция $f(x)$ непрерывна на всем промежутке $I$, она непрерывна и на отрезке $[a, b]$.

Согласно теореме о промежуточном значении, для любого числа $C$, лежащего между $f(a)$ и $f(b)$, существует точка $c$ на отрезке $[a, b]$ такая, что $f(c) = C$.

Поскольку $f(b) < 0 < f(a)$, мы можем выбрать $C=0$. Тогда, по теореме, должна существовать точка $c \in (a, b)$, в которой $f(c) = 0$.

Однако это противоречит исходному условию, что функция не имеет нулей на промежутке $I$. Следовательно, наше предположение о том, что функция может принимать значения разных знаков, неверно.

Значит, функция $f(x)$ сохраняет свой знак на всем промежутке $I$. То есть, либо $f(x) > 0$ для всех $x \in I$, либо $f(x) < 0$ для всех $x \in I$.

Это свойство широко используется, например, в методе интервалов для решения неравенств.

Ответ: Функция, непрерывная на промежутке и не имеющая на нём нулей, обладает свойством знакопостоянства, то есть на всём этом промежутке она принимает значения только одного знака (либо все положительные, либо все отрицательные).