Номер 5.1, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.1. Решите неравенство:

1) $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0;$

2) $x(x - 3)(x + 2) < 0;$

3) $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \le 0;$

4) $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0;$

5) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0;$

6) $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули функции $f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 5)$, решив уравнение $(x + 1)(x - 2)(x + 5) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -5$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -5, -1, 2. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Для этого возьмем произвольную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 3$.
При $x = 3$ выражение $(3 + 1)(3 - 2)(3 + 5) = 4 \cdot 1 \cdot 8 = 32$, что больше нуля. Значит, в интервале $(2; +\infty)$ выражение имеет знак "+".

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), то при переходе через каждый корень знак будет меняться. Двигаясь справа налево, расставляем знаки:
Интервал $(2; +\infty)$: +
Интервал $(-1; 2)$: -
Интервал $(-5; -1)$: +
Интервал $(-\infty; -5)$: -

По условию неравенство должно быть больше нуля ($>0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "+". Так как неравенство строгое, концы интервалов (нули функции) в решение не входят.

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $x(x - 3)(x + 2) < 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции $f(x) = x(x - 3)(x + 2)$, решив уравнение $x(x - 3)(x + 2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -2$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -2, 0, 3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале, взяв, например, $x = 4$.
При $x = 4$ выражение $4(4 - 3)(4 + 2) = 4 \cdot 1 \cdot 6 = 24 > 0$. Значит, в интервале $(3; +\infty)$ знак "+".

Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются:
Интервал $(3; +\infty)$: +
Интервал $(0; 3)$: -
Интервал $(-2; 0)$: +
Интервал $(-\infty; -2)$: -

По условию неравенство должно быть меньше нуля ($<0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "-". Неравенство строгое, поэтому концы интервалов в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)$.

3) Решим неравенство $(x + 7)(x + 5)(x - 9) \le 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции $f(x) = (x + 7)(x + 5)(x - 9)$, решив уравнение $(x + 7)(x + 5)(x - 9) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -7$, $x_2 = -5$, $x_3 = 9$.

Расположим корни на числовой прямой: -7, -5, 9. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -7]$, $[-7; -5]$, $[-5; 9]$ и $[9; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 10$.
При $x = 10$ выражение $(10 + 7)(10 + 5)(10 - 9) = 17 \cdot 15 \cdot 1 > 0$. Значит, в интервале $[9; +\infty)$ знак "+".

Знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1:
Интервал $[9; +\infty)$: +
Интервал $[-5; 9]$: -
Интервал $[-7; -5]$: +
Интервал $(-\infty; -7]$: -

По условию неравенство должно быть меньше или равно нулю ($\le 0$), поэтому выбираем интервалы со знаком "-". Так как неравенство нестрогое, концы интервалов (нули функции) включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-5; 9]$.

4) Решим неравенство $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0$ методом интервалов.

Найдем нули функции, решив уравнение $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) = 0$.

Корни уравнения: $2x + 3 = 0 \implies x_1 = -3/2 = -1.5$;
$3x - 1 = 0 \implies x_2 = 1/3$;
$x + 4 = 0 \implies x_3 = -4$.

Расположим корни на числовой прямой: -4, -1.5, 1/3. Точки разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -1.5)$, $(-1.5; 1/3)$ и $(1/3; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале, взяв $x = 1$.
При $x = 1$ выражение $(2 \cdot 1 + 3)(3 \cdot 1 - 1)(1 + 4) = 5 \cdot 2 \cdot 5 = 50 > 0$. Значит, в интервале $(1/3; +\infty)$ знак "+".

Знаки чередуются:
Интервал $(1/3; +\infty)$: +
Интервал $(-1.5; 1/3)$: -
Интервал $(-4; -1.5)$: +
Интервал $(-\infty; -4)$: -

Нам нужны интервалы со знаком "+", так как неравенство $>0$. Концы интервалов не включаем, так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-4; -3/2) \cup (1/3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0$.

Для удобства приведем неравенство к стандартному виду, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем "-1" из скобки $(3-x)$: $(3-x) = -(x-3)$.

Неравенство принимает вид: $(2x - 1)(-(x - 3))(x + 1) < 0$.

$- (2x - 1)(x - 3)(x + 1) < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$.

Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни: $x_1 = 1/2$, $x_2 = 3$, $x_3 = -1$.

Расположим корни на числовой прямой: -1, 1/2, 3. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$, $(1/2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале (для преобразованного неравенства), взяв $x=4$:
$(2 \cdot 4 - 1)(4 - 3)(4 + 1) = 7 \cdot 1 \cdot 5 = 35 > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются:
Интервал $(3; +\infty)$: +
Интервал $(1/2; 3)$: -
Интервал $(-1; 1/2)$: +
Интервал $(-\infty; -1)$: -

Для преобразованного неравенства нам нужны интервалы со знаком "+". Неравенство строгое, концы интервалов не включаем.

Ответ: $x \in (-1; 1/2) \cup (3; +\infty)$.

6) Решим неравенство $(x - 6)(7x + 1)(2 - 9x) \ge 0$.

Приведем неравенство к стандартному виду. Вынесем "-1" из скобки $(2 - 9x)$: $(2 - 9x) = -(9x - 2)$.

Неравенство принимает вид: $(x - 6)(7x + 1)(-(9x - 2)) \ge 0$.

$- (x - 6)(7x + 1)(9x - 2) \ge 0$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 6)(7x + 1)(9x - 2) \le 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -1/7$, $x_3 = 2/9$.

Расположим корни на числовой прямой: -1/7, 2/9, 6. Они разбивают прямую на интервалы: $(-\infty; -1/7]$, $[-1/7; 2/9]$, $[2/9; 6]$ и $[6; +\infty)$.

Определим знак в крайнем правом интервале (для преобразованного неравенства), взяв $x=7$:
$(7 - 6)(7 \cdot 7 + 1)(9 \cdot 7 - 2) = 1 \cdot 50 \cdot 61 > 0$. Знак "+".

Знаки чередуются:
Интервал $[6; +\infty)$: +
Интервал $[2/9; 6]$: -
Интервал $[-1/7; 2/9]$: +
Интервал $(-\infty; -1/7]$: -

Для преобразованного неравенства нам нужны интервалы со знаком "-". Так как неравенство нестрогое ($\le$), концы интервалов включаем в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/7] \cup [2/9; 6]$.