Номер 3, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Опишите, как решать неравенства методом интервалов.

Метод интервалов — это универсальный алгоритм для решения рациональных неравенств (вида $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$) и многих других. Суть метода заключается в том, чтобы найти точки, в которых функция в левой части неравенства обращается в ноль или не существует, а затем определить знак функции на промежутках, на которые эти точки делят числовую ось.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов:

1. Привести неравенство к стандартному виду $f(x) \gtrless 0$. Для этого все члены неравенства переносятся в левую часть, а справа оставляется ноль. Если левая часть является дробью, ее приводят к виду, где числитель и знаменатель разложены на простейшие множители (например, $(x-a)$).

2. Найти нули функции и точки разрыва. Это "критические" точки, в которых функция $f(x)$ может поменять знак.
   - Нули функции: значения $x$, при которых числитель функции равен нулю.
   - Точки разрыва: значения $x$, при которых знаменатель функции равен нулю (и, следовательно, функция не определена).

3. Отметить критические точки на числовой оси.
   - Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), нули числителя отмечаются закрашенными (сплошными) точками, так как они входят в решение.
   - Если неравенство строгое ($>$ или <), нули числителя отмечаются выколотыми (пустыми) точками.
   - Нули знаменателя (точки разрыва) всегда отмечаются выколотыми точками, так как в них функция не существует.

4. Определить знак функции $f(x)$ на каждом интервале. Для этого можно взять любую "пробную" точку из самого правого интервала, подставить ее в $f(x)$ и определить знак. Затем, двигаясь по оси справа налево, знаки на интервалах чередуются.
   Важное правило: при переходе через корень четной кратности (например, из множителя $(x-c)^2, (x-c)^4$ и т.д.) знак функции не меняется. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется на противоположный.

5. Записать ответ. На основе знаков на интервалах и знака исходного неравенства выбрать подходящие промежутки.
   - Если $f(x) > 0$ или $f(x) \ge 0$, выбираются интервалы со знаком «$+$».
   - Если $f(x) < 0$ или $f(x) \le 0$, выбираются интервалы со знаком «$-$».
   В ответ записывается объединение этих промежутков и, если необходимо, изолированных точек. Для выколотых точек используются круглые скобки $()$, для закрашенных — квадратные $[]$.

Пример решения неравенства:

Решить неравенство $\frac{(x+3)^2(x-1)}{x-4} \le 0$.

1. Стандартный вид. Неравенство уже представлено в стандартном виде $f(x) \le 0$.

2. Критические точки.
Нули числителя: $(x+3)^2(x-1) = 0 \implies x=-3$ и $x=1$.
Нуль знаменателя: $x-4 = 0 \implies x=4$.

3. Числовая ось.
Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому нули числителя $x=-3$ и $x=1$ — закрашенные точки. Нуль знаменателя $x=4$ — всегда выколотая точка.

4. Определение знаков.
Отмечаем точки $-3, 1, 4$ на оси. Они создают интервалы $(-\infty, -3), (-3, 1], [1, 4), (4, +\infty)$.
Определим знак на крайнем правом интервале $(4, +\infty)$, взяв пробную точку $x=10$: $\frac{(10+3)^2(10-1)}{10-4} = \frac{13^2 \cdot 9}{6} > 0$. Знак «$+$».
Двигаемся по оси справа налево:
- При переходе через $x=4$ (корень кратности 1, нечетная) знак меняется: становится «$-$». - При переходе через $x=1$ (корень кратности 1, нечетная) знак меняется: становится «$+$». - При переходе через $x=-3$ (корень кратности 2, четная) знак не меняется: остается «$+$».
Итоговая схема знаков: $(+) \xrightarrow{-3} (+) \xrightarrow{1} (-) \xrightarrow{4} (+)$

5. Запись ответа.
Нам нужны промежутки, где $f(x) \le 0$. Это интервалы со знаком «$-$», а также закрашенные точки, где $f(x)=0$.
- Интервал со знаком «$-$» это $(1, 4)$. - Точки, где $f(x)=0$, это $x=1$ и $x=-3$.
Объединяем: точка $x=1$ включается в интервал, он становится $[1, 4)$. Точка $x=-3$ является изолированным решением.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup [1, 4)$.