Номер 4.10, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.10. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x^2 - 4 > 0$ и $x - 2 > 0$;

2) $x^2 \ge 0$ и $x > 0?

Чтобы определить, какое из двух неравенств является следствием другого, нужно найти множества решений для каждого из них. Если множество решений неравенства (A) содержит в себе всё множество решений неравенства (B), то неравенство (A) является следствием неравенства (B). Иными словами, из истинности (B) следует истинность (A).

1) $x^2 - 4 > 0$ и $x - 2 > 0$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны, когда $x$ находится за пределами корней.

Таким образом, множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x - 2 > 0$.

Перенеся -2 в правую часть, получаем: $x > 2$.

Множество решений второго неравенства: $x \in (2; \infty)$.

Теперь сравним множества решений. Множество решений второго неравенства $(2; \infty)$ полностью содержится в множестве решений первого неравенства $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$. Это значит, что любое число, удовлетворяющее второму неравенству, автоматически удовлетворяет и первому. Следовательно, неравенство $x^2 - 4 > 0$ является следствием неравенства $x - 2 > 0$.

Ответ: Неравенство $x^2 - 4 > 0$ является следствием неравенства $x - 2 > 0$.

2) $x^2 \ge 0$ и $x > 0$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Поэтому это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$, то есть все действительные числа $\mathbb{R}$.

Теперь решим второе неравенство: $x > 0$.

Множество решений этого неравенства — это все положительные числа: $x \in (0; +\infty)$.

Сравним множества решений. Множество положительных чисел $(0; +\infty)$ является подмножеством множества всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что если $x > 0$, то неравенство $x^2 \ge 0$ будет верным. Следовательно, неравенство $x^2 \ge 0$ является следствием неравенства $x > 0$.

Ответ: Неравенство $x^2 \ge 0$ является следствием неравенства $x > 0$.