Номер 4.5, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.5. Равносильны ли неравенства:

1) $x + 3 > 6$ и $-4x < -12;$

2) $(x + 2)^2(x + 1) < 0$ и $x + 1 < 0;$

3) $(x + 2)^2(x + 1) \leq 0$ и $x + 1 \leq 0;$

4) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1;$

5) $x^2 \geq x$ и $x \geq 1;$

6) $(x + 4)^2 < 0$ и $|x - 2| < 0?$

1) $x + 3 > 6$ и $-4x < -12$
Решим первое неравенство: $x + 3 > 6 \Rightarrow x > 3$. Множество решений первого неравенства — $(3; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $-4x < -12$. Разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный: $x > \frac{-12}{-4} \Rightarrow x > 3$. Множество решений второго неравенства — $(3; +\infty)$.
Поскольку множества решений совпадают, неравенства равносильны.
Ответ: да.

2) $(x + 2)^2(x + 1) < 0$ и $x + 1 < 0$
Для первого неравенства $(x + 2)^2(x + 1) < 0$, заметим, что множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен. Произведение будет отрицательным, только если $(x + 2)^2 > 0$ и $x + 1 < 0$.
Это равносильно системе: $\begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x + 1 < 0 \end{cases}$, что дает $\begin{cases} x \neq -2 \\ x < -1 \end{cases}$.
Таким образом, множество решений первого неравенства: $(-\infty; -2) \cup (-2; -1)$.
Для второго неравенства $x + 1 < 0$ решением является $x < -1$, то есть множество $(-\infty; -1)$.
Множества решений не совпадают, так как $x = -2$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

3) $(x + 2)^2(x + 1) \le 0$ и $x + 1 \le 0$
Решим первое неравенство $(x + 2)^2(x + 1) \le 0$. Произведение меньше или равно нулю в двух случаях: оно равно нулю или оно меньше нуля.
1. Произведение равно нулю при $x=-2$ или $x=-1$.
2. Произведение меньше нуля, как мы выяснили в пункте 2, при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1)$.
Объединяя решения из этих двух случаев, получаем множество $(-\infty; -1]$.
Решение второго неравенства $x + 1 \le 0$ есть $x \le -1$, то есть множество $(-\infty; -1]$.
Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да.

4) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1$
Решим первое неравенство: $\frac{1}{x} < 1 \Rightarrow \frac{1}{x} - 1 < 0 \Rightarrow \frac{1 - x}{x} < 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим, что нули числителя и знаменателя — это $x=1$ и $x=0$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства $x > 1$ — это интервал $(1; +\infty)$.
Множества решений не совпадают (решение первого неравенства содержит также интервал $(-\infty; 0)$). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

5) $x^2 \ge x$ и $x \ge 1$
Решим первое неравенство: $x^2 \ge x \Rightarrow x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x(x - 1) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения: $x=0$ и $x=1$. График функции $y=x(x-1)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства $x \ge 1$ — это луч $[1; +\infty)$.
Множества решений не совпадают (решение первого неравенства содержит также луч $(-\infty; 0]$). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

6) $(x + 4)^2 < 0$ и $|x - 2| < 0$
Рассмотрим первое неравенство $(x + 4)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x + 4)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x + 4)^2 < 0$ не имеет решений.
Множество его решений — пустое множество $\emptyset$.
Рассмотрим второе неравенство $|x - 2| < 0$. Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x - 2| \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $|x - 2| < 0$ также не имеет решений.
Множество его решений также является пустым множеством $\emptyset$.
Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми), неравенства равносильны.
Ответ: да.