Страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.5. Равносильны ли неравенства:

1) $x + 3 > 6$ и $-4x < -12;$

2) $(x + 2)^2(x + 1) < 0$ и $x + 1 < 0;$

3) $(x + 2)^2(x + 1) \leq 0$ и $x + 1 \leq 0;$

4) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1;$

5) $x^2 \geq x$ и $x \geq 1;$

6) $(x + 4)^2 < 0$ и $|x - 2| < 0?$

1) $x + 3 > 6$ и $-4x < -12$
Решим первое неравенство: $x + 3 > 6 \Rightarrow x > 3$. Множество решений первого неравенства — $(3; +\infty)$.
Решим второе неравенство: $-4x < -12$. Разделим обе части на -4 и изменим знак неравенства на противоположный: $x > \frac{-12}{-4} \Rightarrow x > 3$. Множество решений второго неравенства — $(3; +\infty)$.
Поскольку множества решений совпадают, неравенства равносильны.
Ответ: да.

2) $(x + 2)^2(x + 1) < 0$ и $x + 1 < 0$
Для первого неравенства $(x + 2)^2(x + 1) < 0$, заметим, что множитель $(x + 2)^2$ всегда неотрицателен. Произведение будет отрицательным, только если $(x + 2)^2 > 0$ и $x + 1 < 0$.
Это равносильно системе: $\begin{cases} x + 2 \neq 0 \\ x + 1 < 0 \end{cases}$, что дает $\begin{cases} x \neq -2 \\ x < -1 \end{cases}$.
Таким образом, множество решений первого неравенства: $(-\infty; -2) \cup (-2; -1)$.
Для второго неравенства $x + 1 < 0$ решением является $x < -1$, то есть множество $(-\infty; -1)$.
Множества решений не совпадают, так как $x = -2$ является решением второго неравенства, но не является решением первого. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

3) $(x + 2)^2(x + 1) \le 0$ и $x + 1 \le 0$
Решим первое неравенство $(x + 2)^2(x + 1) \le 0$. Произведение меньше или равно нулю в двух случаях: оно равно нулю или оно меньше нуля.
1. Произведение равно нулю при $x=-2$ или $x=-1$.
2. Произведение меньше нуля, как мы выяснили в пункте 2, при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1)$.
Объединяя решения из этих двух случаев, получаем множество $(-\infty; -1]$.
Решение второго неравенства $x + 1 \le 0$ есть $x \le -1$, то есть множество $(-\infty; -1]$.
Множества решений совпадают, следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да.

4) $\frac{1}{x} < 1$ и $x > 1$
Решим первое неравенство: $\frac{1}{x} < 1 \Rightarrow \frac{1}{x} - 1 < 0 \Rightarrow \frac{1 - x}{x} < 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим, что нули числителя и знаменателя — это $x=1$ и $x=0$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется для $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства $x > 1$ — это интервал $(1; +\infty)$.
Множества решений не совпадают (решение первого неравенства содержит также интервал $(-\infty; 0)$). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

5) $x^2 \ge x$ и $x \ge 1$
Решим первое неравенство: $x^2 \ge x \Rightarrow x^2 - x \ge 0 \Rightarrow x(x - 1) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения: $x=0$ и $x=1$. График функции $y=x(x-1)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$.
Множество решений второго неравенства $x \ge 1$ — это луч $[1; +\infty)$.
Множества решений не совпадают (решение первого неравенства содержит также луч $(-\infty; 0]$). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

6) $(x + 4)^2 < 0$ и $|x - 2| < 0$
Рассмотрим первое неравенство $(x + 4)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x + 4)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x + 4)^2 < 0$ не имеет решений.
Множество его решений — пустое множество $\emptyset$.
Рассмотрим второе неравенство $|x - 2| < 0$. Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x - 2| \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $|x - 2| < 0$ также не имеет решений.
Множество его решений также является пустым множеством $\emptyset$.
Так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми), неравенства равносильны.
Ответ: да.

4.6. Равносильны ли неравенства:

1) $(x-3)^2(x+4) \le 0 \text{ и } x+4 \le 0;$

2) $(x-3)^2(x+4) < 0 \text{ и } x+4 < 0;$

3) $\frac{x-2}{x-4} > 0 \text{ и } x-2 > 0;$

4) $\sqrt{x} \le 0 \text{ и } x^4 \le 0?$

1) $(x-3)^2(x+4) \le 0$ и $x+4 \le 0$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $(x-3)^2(x+4) \le 0$.
Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Произведение $(x-3)^2(x+4)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:

1. Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:
   • $(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3$.
   • $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.
2. Произведение строго меньше нуля. Так как $(x-3)^2 > 0$ при $x \neq 3$, то для выполнения неравенства $(x-3)^2(x+4) < 0$ необходимо, чтобы множитель $(x+4)$ был отрицательным:
   • $x+4 < 0 \Rightarrow x < -4$.

Объединяя эти случаи, получаем множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup \{3\}$.

Решим второе неравенство: $x+4 \le 0$.
$x \le -4$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty, -4]$.

Сравним множества решений: $(-\infty, -4] \cup \{3\}$ и $(-\infty, -4]$.
Множества не совпадают, так как первое содержит точку $x=3$, а второе нет. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

2) $(x-3)^2(x+4) < 0$ и $x+4 < 0$

Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $(x-3)^2(x+4) < 0$.
Как и в предыдущем пункте, множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы $(x-3)^2$ был строго положительным, а $(x+4)$ — строго отрицательным.

• $(x-3)^2 > 0 \Rightarrow x \neq 3$.
• $x+4 < 0 \Rightarrow x < -4$.

Пересечением этих двух условий является $x < -4$.
Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, -4)$.

Решим второе неравенство: $x+4 < 0$.
$x < -4$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty, -4)$.

Сравним множества решений: $(-\infty, -4)$ и $(-\infty, -4)$.
Множества решений совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да.

3) $\frac{x-2}{x-4} > 0$ и $x-2 > 0$

Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $\frac{x-2}{x-4} > 0$.
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (и знаменатель не равен нулю).

1. Оба положительны:
   • $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
   • $x-4 > 0 \Rightarrow x > 4$.
   Пересечение этих условий: $x > 4$.
2. Оба отрицательны:
   • $x-2 < 0 \Rightarrow x < 2$.
   • $x-4 < 0 \Rightarrow x < 4$.
   Пересечение этих условий: $x < 2$.

Объединяя оба случая, получаем множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (4, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x-2 > 0$.
$x > 2$.
Множество решений второго неравенства: $x \in (2, \infty)$.

Сравним множества решений: $(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$ и $(2, \infty)$.
Множества не совпадают. Например, число $1$ является решением первого неравенства, но не является решением второго. Число $3$ является решением второго, но не первого. Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: нет.

4) $\sqrt{x} \le 0$ и $x^4 \le 0$

Найдем решения для каждого неравенства.

Решим первое неравенство: $\sqrt{x} \le 0$.
Область допустимых значений для $\sqrt{x}$ — это $x \ge 0$.
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.
Таким образом, неравенство $\sqrt{x} \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $\sqrt{x} = 0$.
$\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x=0$.
Множество решений первого неравенства состоит из одного числа: $\{0\}$.

Решим второе неравенство: $x^4 \le 0$.
Любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$.
Таким образом, неравенство $x^4 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $x^4=0$.
$x^4=0 \Rightarrow x=0$.
Множество решений второго неравенства также состоит из одного числа: $\{0\}$.

Сравним множества решений: $\{0\}$ и $\{0\}$.
Множества решений совпадают. Следовательно, неравенства равносильны.
Ответ: да.

4.7. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $x^2 = x$ и $x = 1;$

2) $\frac{x}{x} = 1$ и $0x = 0;$

3) $|x| = 1$ и $x^3 = 1;$

4) $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$ и $x^2 = 36;$

5) $x^2 = 4$ и $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2};$

6) $\frac{x^2 - 1}{x+1} = 0$ и $x^2 - 1 = 0?$

Уравнение (2) является следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2). Другими словами, каждый корень уравнения (1) должен быть также корнем уравнения (2).

1) Рассмотрим уравнения $x^2 = x$ и $x = 1$.
Решим первое уравнение: $x^2 - x = 0$, откуда $x(x-1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество корней первого уравнения: $M_1 = \{0, 1\}$.
Второе уравнение $x = 1$ имеет один корень $x=1$. Множество корней второго уравнения: $M_2 = \{1\}$.
Поскольку $M_2 \subset M_1$ (каждый корень второго уравнения является корнем первого), то уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $x=1$.
Ответ: уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $x=1$.

2) Рассмотрим уравнения $\frac{x}{x} = 1$ и $0 \cdot x = 0$.
Первое уравнение $\frac{x}{x} = 1$ определено для всех $x$, кроме $x=0$. На области определения ($x \neq 0$) оно является тождеством $1=1$. Таким образом, множество решений первого уравнения — это все действительные числа, кроме нуля: $M_1 = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Второе уравнение $0 \cdot x = 0$ верно для любого действительного числа $x$. Множество его решений: $M_2 = \mathbb{R}$.
Поскольку $M_1 \subset M_2$, уравнение $0 \cdot x = 0$ является следствием уравнения $\frac{x}{x} = 1$.
Ответ: уравнение $0 \cdot x = 0$ является следствием уравнения $\frac{x}{x} = 1$.

3) Рассмотрим уравнения $|x| = 1$ и $x^3 = 1$.
Решениями первого уравнения $|x| = 1$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Множество корней: $M_1 = \{-1, 1\}$.
Единственным действительным решением второго уравнения $x^3 = 1$ является $x=1$. Множество корней: $M_2 = \{1\}$.
Поскольку $M_2 \subset M_1$, уравнение $|x|=1$ является следствием уравнения $x^3=1$.
Ответ: уравнение $|x|=1$ является следствием уравнения $x^3=1$.

4) Рассмотрим уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$ и $x^2 = 36$.
Область допустимых значений (ОДЗ) первого уравнения: $x-6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$. На ОДЗ уравнение равносильно уравнению $x^2 = 36$, корни которого $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Корень $x=6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому единственным решением первого уравнения является $x=-6$. Множество корней: $M_1 = \{-6\}$.
Второе уравнение $x^2=36$ имеет корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$. Множество корней: $M_2 = \{-6, 6\}$.
Поскольку $M_1 \subset M_2$, уравнение $x^2=36$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$.
Ответ: уравнение $x^2 = 36$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x-6} = \frac{36}{x-6}$.

5) Рассмотрим уравнения $x^2 = 4$ и $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.
Первое уравнение $x^2=4$ имеет корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Множество корней: $M_1 = \{-2, 2\}$.
ОДЗ второго уравнения: $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. На ОДЗ уравнение равносильно уравнению $x^2=4$. Его корни $x=2$ и $x=-2$. Корень $x=-2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому единственным решением второго уравнения является $x=2$. Множество корней: $M_2 = \{2\}$.
Поскольку $M_2 \subset M_1$, уравнение $x^2=4$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.
Ответ: уравнение $x^2=4$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{x+2} = 4 - \frac{1}{x+2}$.

6) Рассмотрим уравнения $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$ и $x^2-1 = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, решаем систему: $ \begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} $. Из первого уравнения получаем $x=1$ или $x=-1$. Второе условие $x \neq -1$ исключает корень $x=-1$. Единственное решение первого уравнения: $x=1$. Множество корней: $M_1 = \{1\}$.
Второе уравнение $x^2-1=0$ имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Множество корней: $M_2 = \{-1, 1\}$.
Поскольку $M_1 \subset M_2$, уравнение $x^2-1=0$ является следствием уравнения $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$.
Ответ: уравнение $x^2-1=0$ является следствием уравнения $\frac{x^2-1}{x+1} = 0$.

4.8. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $\frac{x^2}{x} = 1$ и $x^2 = x$;

2) $x^2 + 1 = 1$ и $x(x - 1) = 0$;

3) $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$ и $x^2 = 64$;

4) $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$ и $x^2 = 9$?

Чтобы определить, какое из двух уравнений является следствием другого, необходимо найти множества корней для каждого уравнения в паре. Уравнение (2) является следствием уравнения (1), если множество корней уравнения (1) является подмножеством множества корней уравнения (2), то есть каждый корень уравнения (1) также является корнем уравнения (2).

1) $\frac{x^2}{x} = 1$ и $x^2 = x$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2}{x} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием неравенства знаменателя нулю: $x \neq 0$. На ОДЗ мы можем сократить дробь на $x$, получив равносильное уравнение $x=1$. Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, множество корней первого уравнения — {$1$}.

Решим второе уравнение: $x^2 = x$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, откуда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество корней второго уравнения — {$0, 1$}.

Сравнивая множества корней, видим, что множество {$1$} является подмножеством множества {$0, 1$}. Следовательно, каждый корень первого уравнения является корнем второго.

Ответ: уравнение $x^2=x$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x}=1$.

2) $x^2 + 1 = 1$ и $x(x - 1) = 0$

Решим первое уравнение: $x^2 + 1 = 1$. Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $x^2 = 0$. Единственным корнем этого уравнения является $x=0$. Множество корней первого уравнения — {$0$}.

Решим второе уравнение: $x(x - 1) = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Множество корней второго уравнения — {$0, 1$}.

Множество корней первого уравнения {$0$} является подмножеством множества корней второго уравнения {$0, 1$}.

Ответ: уравнение $x(x-1)=0$ является следствием уравнения $x^2+1=1$.

3) $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$ и $x^2 = 64$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$. ОДЗ: $x + 8 \neq 0$, то есть $x \neq -8$. На ОДЗ можно умножить обе части на $(x+8)$, что приводит к уравнению $x^2 = 64$. Корни уравнения $x^2 = 64$ — это $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$. Проверим корни по ОДЗ: $x=8$ удовлетворяет условию $x \neq -8$, а $x=-8$ — нет. Следовательно, у первого уравнения только один корень: $x=8$. Множество корней — {$8$}.

Решим второе уравнение: $x^2 = 64$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$. Множество корней второго уравнения — {$8, -8$}.

Множество корней первого уравнения {$8$} является подмножеством множества корней второго уравнения {$8, -8$}.

Ответ: уравнение $x^2=64$ является следствием уравнения $\frac{x^2}{x+8} = \frac{64}{x+8}$.

4) $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$ и $x^2 = 9$

Решим первое уравнение: $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$. ОДЗ: $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. На ОДЗ можно вычесть $\frac{1}{x+3}$ из обеих частей, что приводит к уравнению $x^2 = 9$. Корни уравнения $x^2 = 9$ — это $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Проверим корни по ОДЗ: $x=3$ удовлетворяет условию $x \neq -3$, а $x=-3$ — нет. Следовательно, у первого уравнения только один корень: $x=3$. Множество корней — {$3$}.

Решим второе уравнение: $x^2 = 9$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Множество корней второго уравнения — {$3, -3$}.

Множество корней первого уравнения {$3$} является подмножеством множества корней второго уравнения {$3, -3$}.

Ответ: уравнение $x^2=9$ является следствием уравнения $x^2 + \frac{1}{x+3} = 9 + \frac{1}{x+3}$.

4.9. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x < -4$ и $x < 1$;

2) $x \geq 5$ и $x > 5$;

3) $x^2 < 0$ и $x < 0$?

Чтобы определить, какое из двух неравенств является следствием другого, необходимо сравнить их множества решений. Неравенство А является следствием неравенства Б, если любое решение неравенства Б также является решением неравенства А. Это означает, что множество решений неравенства Б является подмножеством множества решений неравенства А.

1) $x < -4$ и $x < 1$

Рассмотрим два неравенства: $x < -4$ и $x < 1$.

Множество решений первого неравенства, $x < -4$, представляет собой числовой промежуток $(-\infty; -4)$.

Множество решений второго неравенства, $x < 1$, представляет собой числовой промежуток $(-\infty; 1)$.

Сравним эти множества. Любое число, которое меньше $-4$, очевидно, будет меньше и $1$. Таким образом, множество решений $(-\infty; -4)$ является подмножеством множества решений $(-\infty; 1)$.

Это означает, что из истинности неравенства $x < -4$ следует истинность неравенства $x < 1$.

Обратное утверждение неверно. Например, если взять $x=0$, то неравенство $x < 1$ будет верным ($0 < 1$), а неравенство $x < -4$ — неверным ($0 < -4$ — ложно).

Ответ: неравенство $x < 1$ является следствием неравенства $x < -4$.

2) $x \geq 5$ и $x > 5$

Рассмотрим два неравенства: $x \geq 5$ и $x > 5$.

Множество решений первого неравенства, $x \geq 5$, представляет собой числовой промежуток $[5; +\infty)$.

Множество решений второго неравенства, $x > 5$, представляет собой числовой промежуток $(5; +\infty)$.

Сравним эти множества. Любое число, которое строго больше $5$, также будет больше или равно $5$. Таким образом, множество решений $(5; +\infty)$ является подмножеством множества решений $[5; +\infty)$.

Это означает, что из истинности неравенства $x > 5$ следует истинность неравенства $x \geq 5$.

Обратное утверждение неверно. Число $x=5$ удовлетворяет неравенству $x \geq 5$ ($5 \geq 5$ — верно), но не удовлетворяет неравенству $x > 5$ ($5 > 5$ — ложно).

Ответ: неравенство $x \geq 5$ является следствием неравенства $x > 5$.

3) $x^2 < 0$ и $x < 0$

Рассмотрим два неравенства: $x^2 < 0$ и $x < 0$.

Множество решений первого неравенства, $x^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, у неравенства $x^2 < 0$ нет решений. Его множество решений — пустое множество, $\emptyset$.

Множество решений второго неравенства, $x < 0$, представляет собой числовой промежуток $(-\infty; 0)$.

Проверим, является ли $x < 0$ следствием $x^2 < 0$. Для этого нужно, чтобы множество решений $x^2 < 0$ было подмножеством множества решений $x < 0$. Так как пустое множество $\emptyset$ является подмножеством любого множества, то $\emptyset \subset (-\infty; 0)$. Следовательно, $x < 0$ является следствием $x^2 < 0$. Логически это означает, что утверждение "если $x^2 < 0$, то $x < 0$" истинно, поскольку посылка ($x^2 < 0$) всегда ложна.

Проверим обратное: является ли $x^2 < 0$ следствием $x < 0$. Возьмем любое число, удовлетворяющее $x < 0$, например, $x=-2$. Для этого числа $x^2 = (-2)^2 = 4$. Неравенство $4 < 0$ ложно. Значит, из истинности $x < 0$ не следует истинность $x^2 < 0$.

Ответ: неравенство $x < 0$ является следствием неравенства $x^2 < 0$.

4.10. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x^2 - 4 > 0$ и $x - 2 > 0$;

2) $x^2 \ge 0$ и $x > 0?

Чтобы определить, какое из двух неравенств является следствием другого, нужно найти множества решений для каждого из них. Если множество решений неравенства (A) содержит в себе всё множество решений неравенства (B), то неравенство (A) является следствием неравенства (B). Иными словами, из истинности (B) следует истинность (A).

1) $x^2 - 4 > 0$ и $x - 2 > 0$

Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 4 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Это квадратичное неравенство. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны, когда $x$ находится за пределами корней.

Таким образом, множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $x - 2 > 0$.

Перенеся -2 в правую часть, получаем: $x > 2$.

Множество решений второго неравенства: $x \in (2; \infty)$.

Теперь сравним множества решений. Множество решений второго неравенства $(2; \infty)$ полностью содержится в множестве решений первого неравенства $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$. Это значит, что любое число, удовлетворяющее второму неравенству, автоматически удовлетворяет и первому. Следовательно, неравенство $x^2 - 4 > 0$ является следствием неравенства $x - 2 > 0$.

Ответ: Неравенство $x^2 - 4 > 0$ является следствием неравенства $x - 2 > 0$.

2) $x^2 \ge 0$ и $x > 0$

Решим первое неравенство: $x^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Поэтому это неравенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; +\infty)$, то есть все действительные числа $\mathbb{R}$.

Теперь решим второе неравенство: $x > 0$.

Множество решений этого неравенства — это все положительные числа: $x \in (0; +\infty)$.

Сравним множества решений. Множество положительных чисел $(0; +\infty)$ является подмножеством множества всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что если $x > 0$, то неравенство $x^2 \ge 0$ будет верным. Следовательно, неравенство $x^2 \ge 0$ является следствием неравенства $x > 0$.

Ответ: Неравенство $x^2 \ge 0$ является следствием неравенства $x > 0$.

4.11. Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1) уравнение $(|x|+3)f(x)=2|x|+6$ заменить уравнением $f(x)=2$;

2) уравнение $\frac{f(x)}{x^2+1}=0$ заменить уравнением $f(x)=0$;

3) уравнение $(x+1)f(x)=x+1$ заменить уравнением $f(x)=1$;

4) уравнение $\frac{f(x)}{x+1}=\frac{g(x)}{x+1}$ заменить уравнением $f(x)=g(x)$;

5) уравнение $f(x)=g(x)$ заменить уравнением $(x+1)f(x)=(x+1)g(x)$?

1) Исходное уравнение: $(|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6$. Правую часть можно разложить на множители: $2|x| + 6 = 2(|x| + 3)$. Тогда уравнение принимает вид: $(|x| + 3) f(x) = 2(|x| + 3)$. Чтобы перейти к уравнению $f(x) = 2$, необходимо разделить обе части исходного уравнения на выражение $(|x| + 3)$. Такое преобразование является равносильным, если выражение, на которое мы делим, не обращается в ноль. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 3 \ge 3$. Следовательно, выражение $(|x| + 3)$ никогда не равно нулю. Таким образом, деление на $(|x| + 3)$ является равносильным преобразованием, не приводящим к потере или приобретению корней. Ответ: Множество корней не изменится.

2) Исходное уравнение: $\frac{f(x)}{x^2 + 1} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = 0, \\ x^2 + 1 \neq 0. \end{cases}$ Рассмотрим второе условие системы: $x^2 + 1 \neq 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Значит, знаменатель $x^2 + 1$ никогда не обращается в ноль. Поэтому условие $x^2 + 1 \neq 0$ выполняется всегда. Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению $f(x) = 0$. Ответ: Множество корней не изменится.

3) Исходное уравнение: $(x + 1) f(x) = x + 1$. Новое уравнение: $f(x) = 1$. Переход от первого уравнения ко второму осуществляется делением обеих частей на $(x + 1)$. Это преобразование законно только при условии $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Рассмотрим случай, когда $x = -1$. Подставим это значение в исходное уравнение: $(-1 + 1) f(-1) = -1 + 1$ $0 \cdot f(-1) = 0$ $0 = 0$. Это верное равенство при любом значении $f(-1)$, если функция $f(x)$ определена в точке $x = -1$. Таким образом, $x = -1$ является корнем исходного уравнения (если входит в область определения $f(x)$). Теперь проверим $x = -1$ для нового уравнения $f(x) = 1$. Это значение будет корнем, только если $f(-1) = 1$. Если $f(x)$ определена в точке $x = -1$, но $f(-1) \neq 1$, то при переходе к новому уравнению происходит потеря корня $x = -1$. Следовательно, множество корней может сузиться. Ответ: Множество корней может сузиться. Может быть потерян корень $x = -1$, если он является корнем исходного уравнения, но при этом $f(-1) \neq 1$.

4) Исходное уравнение: $\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}$. Новое уравнение: $f(x) = g(x)$. Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условием $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. На этой ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению $f(x) = g(x)$. Таким образом, множество корней исходного уравнения — это множество корней уравнения $f(x) = g(x)$, из которого исключено значение $x = -1$. Новое уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет ограничения $x \neq -1$. Если $x = -1$ является решением уравнения $f(x) = g(x)$ (то есть $f(-1) = g(-1)$), то это значение будет корнем нового уравнения, но не будет корнем исходного, так как не входит в его ОДЗ. В этом случае при замене уравнения произойдет приобретение нового корня $x = -1$. Следовательно, множество корней может расшириться. Ответ: Множество корней может расшириться. Может быть добавлен посторонний корень $x = -1$, если $f(-1) = g(-1)$.

5) Исходное уравнение: $f(x) = g(x)$. Новое уравнение: $(x + 1) f(x) = (x + 1) g(x)$. Новое уравнение получается из исходного умножением обеих частей на $(x + 1)$. Такое преобразование не приводит к потере корней, но может привести к появлению посторонних корней. Любой корень исходного уравнения $f(x_0) = g(x_0)$ является корнем и нового уравнения, так как $(x_0 + 1) f(x_0) = (x_0 + 1) g(x_0)$. Рассмотрим новое уравнение: $(x + 1) f(x) - (x + 1) g(x) = 0$ $(x + 1)(f(x) - g(x)) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, решениями нового уравнения являются корни уравнения $f(x) = g(x)$ (исходное уравнение), а также корень уравнения $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$. Если $x = -1$ не является корнем исходного уравнения (то есть $f(-1) \neq g(-1)$), то при переходе к новому уравнению этот корень добавится. Следовательно, множество корней может расшириться. Ответ: Множество корней может расшириться. Может быть добавлен посторонний корень $x = -1$, если он не являлся корнем исходного уравнения.