Страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.1. Равносильны ли уравнения:

1) $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$;

2) $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$;

3) $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$;

4) $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$;

5) $x^3 = 1$ и $\vert x \vert = 1$;

6) $x^{100} = 1$ и $x^{1000} = 1$;

7) $\frac{x}{x} = 1$ и $x = x$;

8) $x^2 + 2x + 1 = 0$ и $x + 1 = 0$;

9) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0$;

10) $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 9 = 0$?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $-2x = -6$ и $\frac{1}{3}x = 1$

Решим первое уравнение: $-2x = -6$. Разделив обе части на $-2$, получим $x = 3$. Множество корней этого уравнения: $\{3\}$.
Решим второе уравнение: $\frac{1}{3}x = 1$. Умножив обе части на $3$, получим $x = 3$. Множество корней этого уравнения: $\{3\}$.
Множества корней обоих уравнений совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

2) $x - 5 = 0$ и $x(x - 5) = 0$

Решим первое уравнение: $x - 5 = 0$. Его единственный корень $x = 5$. Множество корней: $\{5\}$.
Решим второе уравнение: $x(x - 5) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, $x = 0$ или $x - 5 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$. Множество корней: $\{0, 5\}$.
Множества корней не совпадают.
Ответ: Нет, уравнения не равносильны.

3) $\frac{6}{x} = 0$ и $x^2 = -4$

Рассмотрим первое уравнение: $\frac{6}{x} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель равен 6 и никогда не равен нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество корней: $\emptyset$.
Рассмотрим второе уравнение: $x^2 = -4$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Множество корней: $\emptyset$.
Поскольку оба уравнения не имеют корней, их множества корней совпадают (оба пусты).
Ответ: Да, уравнения равносильны.

4) $x + 1 = 1 + x$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$

Первое уравнение $x + 1 = 1 + x$ является тождеством, так как оно верно при любом значении $x$. Множество его решений — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Второе уравнение $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x^2 + 1 \ne 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$, значит, знаменатель никогда не обращается в ноль. ОДЗ — все действительные числа. На этой области уравнение упрощается до тождества $1=1$. Таким образом, его решение — любое действительное число, $x \in \mathbb{R}$.
Множества решений обоих уравнений совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

5) $x^3 = 1$ и $|x| = 1$

Решим первое уравнение: $x^3 = 1$. Единственный действительный корень этого уравнения $x = 1$. Множество корней: $\{1\}$.
Решим второе уравнение: $|x| = 1$. Это уравнение имеет два корня: $x = 1$ и $x = -1$. Множество корней: $\{-1, 1\}$.
Множества корней не совпадают.
Ответ: Нет, уравнения не равносильны.

6) $x^{100} = 1$ и $x^{1000} = 1$

Решим первое уравнение: $x^{100} = 1$. Так как показатель степени $100$ — четное число, уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$. Множество корней: $\{-1, 1\}$.
Решим второе уравнение: $x^{1000} = 1$. Показатель степени $1000$ также является четным числом, поэтому это уравнение также имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$. Множество корней: $\{-1, 1\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

7) $\frac{x}{x} = 1$ и $x = x$

Рассмотрим первое уравнение: $\frac{x}{x} = 1$. ОДЗ: $x \ne 0$. Для всех $x$ из ОДЗ уравнение является верным тождеством $1=1$. Таким образом, множество решений — все действительные числа, кроме нуля: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.
Рассмотрим второе уравнение: $x=x$. Это тождество, верное для любого действительного числа $x$. Множество решений — все действительные числа: $x \in \mathbb{R}$.
Множества решений не совпадают, так как $x=0$ является решением второго уравнения, но не входит в множество решений первого.
Ответ: Нет, уравнения не равносильны.

8) $x^2 + 2x + 1 = 0$ и $x + 1 = 0$

Левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид $(x+1)^2 = 0$, откуда следует, что $x+1=0$. Единственный корень этого уравнения: $x = -1$. Множество корней: $\{-1\}$.
Второе уравнение $x + 1 = 0$ также имеет единственный корень $x = -1$. Множество корней: $\{-1\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

9) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$.
Из первого условия $x^2 = 1$ получаем $x=1$ или $x=-1$.
Из второго условия $x \ne -1$.
Следовательно, решением системы является только $x=1$. Множество корней: $\{1\}$.
Решим второе уравнение: $x - 1 = 0$. Его корень $x=1$. Множество корней: $\{1\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

10) $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 9 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x + 2} = 0$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} x^2 - 9 = 0 \\ x + 2 \ne 0 \end{cases}$.
Из первого условия $x^2 = 9$ получаем $x=3$ или $x=-3$.
Из второго условия $x \ne -2$.
Оба корня ($3$ и $-3$) удовлетворяют условию $x \ne -2$. Таким образом, множество корней: $\{-3, 3\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 - 9 = 0$. Его корни $x=3$ и $x=-3$. Множество корней: $\{-3, 3\}$.
Множества корней совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

4.2. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 6 = 10$ и $2x - 1 = 7;$

2) $x^2 = x$ и $x = 1;$

3) $x^2 + 1 = 0$ и $\frac{3}{x - 1} = 0;$

4) $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$ и $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1;$

5) $\frac{x - 2}{x - 2} = 0$ и $2x^2 + 3 = 0;$

6) $x^2 + 4x + 4 = 0$ и $\frac{x + 2}{x - 1} = 0;$

7) $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ и $x + 3 = 0;$

8) $\frac{x + 1}{x + 1} = 0$ и $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 0?;$

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x + 6 = 10$. Перенесем 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x = 10 - 6$ $x = 4$ Корень первого уравнения – 4. Множество решений: $\{4\}$. Второе уравнение: $2x - 1 = 7$. Перенесем -1 в правую часть: $2x = 7 + 1$ $2x = 8$ Разделим обе части на 2: $x = \frac{8}{2}$ $x = 4$ Корень второго уравнения – 4. Множество решений: $\{4\}$. Множества решений обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны. Ответ: Да, равносильны.

2) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x^2 = x$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$. Корни первого уравнения: 0 и 1. Множество решений: $\{0, 1\}$. Второе уравнение: $x = 1$. Корень этого уравнения – 1. Множество решений: $\{1\}$. Множества решений $\{0, 1\}$ и $\{1\}$ не совпадают, так как первое уравнение имеет корень $x = 0$, которого нет у второго уравнения. Следовательно, уравнения не являются равносильными. Ответ: Нет, не равносильны.

3) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x^2 + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть: $x^2 = -1$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет действительных корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Второе уравнение: $\frac{3}{x - 1} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель дроби равен 3 и никогда не равен нулю. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Поскольку оба уравнения не имеют корней (их множества решений совпадают и являются пустыми), они равносильны. Ответ: Да, равносильны.

4) Рассмотрим множества решений каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x + 1}{x + 1} = 1$. Это уравнение является верным равенством для всех значений $x$, при которых его левая часть определена. Левая часть определена, если знаменатель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Таким образом, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x = -1$. Множество решений: $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Второе уравнение: $\frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} = 1$. Это уравнение верно для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю: $x^2 + 1 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, решением уравнения является любое действительное число. Множество решений: $(-\infty; +\infty)$. Множества решений не совпадают. Следовательно, уравнения не равносильны. Ответ: Нет, не равносильны.

5) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x - 2}{x - 2} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$. Проверим знаменатель при $x = 2$: $x - 2 = 2 - 2 = 0$. Знаменатель равен нулю, что недопустимо. Следовательно, уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Второе уравнение: $2x^2 + 3 = 0$. $2x^2 = -3$ $x^2 = -\frac{3}{2}$ Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Множество решений пусто: $\emptyset$. Поскольку множества решений обоих уравнений пусты, они равносильны. Ответ: Да, равносильны.

6) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $x^2 + 4x + 4 = 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x + 2)^2 = 0$ $x + 2 = 0$ $x = -2$ Корень уравнения: -2. Множество решений: $\{-2\}$. Второе уравнение: $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $x + 2 = 0$, откуда $x = -2$. Знаменатель: $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$. Корень $x = -2$ удовлетворяет условию $x \neq 1$. Следовательно, $x = -2$ является корнем уравнения. Множество решений: $\{-2\}$. Множества решений обоих уравнений совпадают, значит, они равносильны. Ответ: Да, равносильны.

7) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $x^2 - 9 = 0$. Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корни числителя: $x = 3$ и $x = -3$. Знаменатель: $x - 3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Из двух потенциальных корней ($3$ и $-3$) корень $x=3$ не удовлетворяет условию на знаменатель. Остается только один корень: $x = -3$. Множество решений: $\{-3\}$. Второе уравнение: $x + 3 = 0$. $x = -3$ Множество решений: $\{-3\}$. Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны. Ответ: Да, равносильны.

8) Найдем корни каждого уравнения. Первое уравнение: $\frac{x + 1}{x + 1} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель: $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$. Знаменатель: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Условия $x = -1$ и $x \neq -1$ противоречат друг другу. Уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Второе уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 0$. Числитель: $x^2 - 1 = 0$, откуда $x^2 = 1$, то есть $x = 1$ или $x = -1$. Знаменатель: $x^2 - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Оба потенциальных корня не удовлетворяют условию на знаменатель. Уравнение не имеет корней. Множество решений пусто: $\emptyset$. Поскольку множества решений обоих уравнений пусты, они равносильны. Ответ: Да, равносильны.

4.3. Составьте какое-нибудь уравнение, равносильное данному:

1) $|x|=1$;

2) $x+6=x-2$;

3) $\frac{x-1}{x-1}=1$.

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают. Если оба уравнения не имеют решений, они также считаются равносильными. Чтобы составить равносильное уравнение, сначала определим множество решений для каждого из данных уравнений.

1) Дано уравнение $|x| = 1$.

По определению модуля, это уравнение означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой равно 1. Этому условию удовлетворяют два числа: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, множество решений исходного уравнения — $\{-1, 1\}$.

Нужно составить новое уравнение, которое имеет те же самые решения. Например, уравнение $x^2 = 1$. Его решениями также являются $x = \sqrt{1} = 1$ и $x = -\sqrt{1} = -1$. Следовательно, уравнение $x^2 = 1$ равносильно исходному уравнению.

Ответ: $x^2 = 1$.

2) Дано уравнение $x + 6 = x - 2$.

Попробуем решить это уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$x - x = -2 - 6$

$0 = -8$

В результате мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений (множество решений пустое).

Следовательно, любое другое уравнение, которое также не имеет решений, будет равносильно данному. Например, рассмотрим уравнение $x = x + 5$. Если вычесть $x$ из обеих частей, получим $0 = 5$, что является ложным утверждением. Значит, уравнение $x = x + 5$ также не имеет решений.

Ответ: $x = x + 5$.

3) Дано уравнение $\frac{x-1}{x-1} = 1$.

Это дробно-рациональное уравнение. Прежде всего, найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$x - 1 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 1$.

На этой области допустимых значений (то есть для всех $x$, кроме 1) выражение в левой части уравнения $\frac{x-1}{x-1}$ всегда равно 1. Таким образом, уравнение принимает вид $1 = 1$.

Это верное числовое равенство, которое выполняется для любого значения $x$ из ОДЗ.

Следовательно, решением уравнения являются все действительные числа, кроме $x = 1$. Множество решений: $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Нам нужно составить уравнение, которое имеет такое же множество решений. Например, уравнение $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$. Его ОДЗ также $x \neq 1$. Если мы разложим числитель по формуле разности квадратов, получим $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$. После сокращения на $(x-1)$ на ОДЗ, получим тождество $x+1 = x+1$, которое верно для всех $x \neq 1$.

Ответ: $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$.

4.4. Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным данному:

1) в уравнении $3(2x - 1) - 5(4x + 2) = 1$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;

2) в уравнении $x^2 + \frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x - 7} = 49$ разность $\frac{1}{x - 7} - \frac{1}{x - 7}$ заменить нулём;

3) в уравнении $\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 3x - 5 = 0$ сократить дробь;

4) обе части уравнения $x^3 = x$ разделить на $x$;

5) обе части уравнения $(x + 1)(x^2 + 4) = x^2 + 4$ разделить на $x^2 + 4$;

6) обе части уравнения $\frac{x^2}{x} = 2$ умножить на $x$;

7) обе части уравнения $2x + 1 = 5$ умножить на $x + 1$?

1) В уравнении $3(2x - 1) - 5(4x + 2) = 1$ преобразование заключается в раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. Это тождественное преобразование, которое не меняет множество решений уравнения, так как оно основано на свойствах чисел и не изменяет область определения уравнения. Область определения как исходного, так и полученного уравнения — все действительные числа. Следовательно, полученное уравнение равносильно данному. Ответ: да.

2) В уравнении $x^2 + \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7} = 49$ область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x - 7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$. На этой области уравнение упрощается до $x^2 = 49$, корнями которого являются $x=7$ и $x=-7$. Однако, корень $x=7$ не входит в ОДЗ исходного уравнения, поэтому его единственным решением является $x=-7$. Преобразование, заменяющее разность $\frac{1}{x-7} - \frac{1}{x-7}$ нулём, приводит к уравнению $x^2 = 49$, у которого два корня: $x=7$ и $x=-7$. Поскольку множества решений исходного ($\{-7\}$) и полученного ($\{-7, 7\}$) уравнений не совпадают, уравнения не являются равносильными. Ответ: нет.

3) В уравнении $\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 3x - 5 = 0$ ОДЗ переменной $x$ определяется условием $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Сокращение дроби $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ является верным только при $x \neq 1$. После сокращения получаем уравнение $(x+1) + 3x - 5 = 0$, или $4x - 4 = 0$, корень которого $x=1$. Этот корень не входит в ОДЗ исходного уравнения, следовательно, исходное уравнение не имеет решений. Множество решений исходного уравнения пусто, а нового — $\{1\}$. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.

4) В уравнении $x^3 = x$ деление обеих частей на $x$ является недопустимым преобразованием, если не рассматривать случай $x=0$ отдельно, так как это может привести к потере корня. Исходное уравнение $x^3 - x = 0$ можно записать как $x(x^2 - 1) = 0$, его корни $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. После деления на $x$ получаем уравнение $x^2=1$, корни которого $x=1$ и $x=-1$. В результате преобразования был потерян корень $x=0$. Следовательно, уравнения не равносильны. Ответ: нет.

5) В уравнении $(x + 1)(x^2 + 4) = x^2 + 4$ обе части делятся на выражение $x^2 + 4$. Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \geq 4$. Это означает, что выражение $x^2 + 4$ никогда не равно нулю. Деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число или выражение является равносильным преобразованием. Оно не приводит к потере или приобретению корней. Уравнения равносильны. Ответ: да.

6) В уравнении $\frac{x^2}{x} = 2$ ОДЗ переменной $x$ есть $x \neq 0$. На этой области уравнение равносильно уравнению $x=2$. Таким образом, решение исходного уравнения — $x=2$. Умножение обеих частей на $x$ приводит к уравнению $x^2 = 2x$, или $x^2 - 2x = 0$, которое имеет два корня: $x=0$ и $x=2$. В результате преобразования появился посторонний корень $x=0$, который не входит в ОДЗ исходного уравнения. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.

7) В уравнении $2x + 1 = 5$ решением является $x=2$. Умножение обеих частей на выражение $x+1$ может привести к появлению посторонних корней, а именно тех, при которых это выражение равно нулю, то есть $x=-1$. Новое уравнение $(2x + 1)(x + 1) = 5(x + 1)$ можно преобразовать к виду $(x+1)(2x+1-5)=0$, или $2(x+1)(x-2)=0$. Его корни $x=-1$ и $x=2$. Множество решений нового уравнения $\{-1, 2\}$ не совпадает с множеством решений исходного $\{2\}$. Уравнения не равносильны. Ответ: нет.