Страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.4. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x - 1;$

2) $y = \frac{1}{x};$

3) $y = \frac{1}{2x+1};$

4) $y = \frac{1}{3}x + 4.$

1) Для нахождения функции, обратной к $y = 3x - 1$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.
Начнем с исходного уравнения: $y = 3x - 1$
Перенесем $-1$ в левую часть: $y + 1 = 3x$
Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$: $x = \frac{y + 1}{3}$
Теперь заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = \frac{x + 1}{3}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{x + 1}{3}$

2) Для функции $y = \frac{1}{x}$ проделаем ту же процедуру. Выразим $x$ через $y$.
Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$): $yx = 1$
Разделим обе части на $y$ (при условии, что $y \neq 0$): $x = \frac{1}{y}$
Теперь меняем переменные $x$ и $y$ местами: $y = \frac{1}{x}$
В данном случае функция является обратной самой себе.
Ответ: $y = \frac{1}{x}$

3) Дана функция $y = \frac{1}{2x + 1}$. Выразим $x$ через $y$.
Умножим обе части на знаменатель $(2x + 1)$: $y(2x + 1) = 1$
Раскроем скобки: $2xy + y = 1$
Перенесем $y$ в правую часть уравнения: $2xy = 1 - y$
Выразим $x$, разделив обе части на $2y$: $x = \frac{1 - y}{2y}$
На последнем шаге меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{1 - x}{2x}$
Это и есть обратная функция.
Ответ: $y = \frac{1 - x}{2x}$

4) Дана функция $y = \frac{1}{3}x + 4$. Найдем обратную ей, выразив $x$ через $y$.
Перенесем 4 в левую часть: $y - 4 = \frac{1}{3}x$
Умножим обе части уравнения на 3: $3(y - 4) = x$
$x = 3y - 12$
Теперь произведем замену переменных $x$ на $y$ и $y$ на $x$: $y = 3x - 12$
Это искомая обратная функция.
Ответ: $y = 3x - 12$

3.5. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 0.2x + 3$;

2) $y = \frac{1}{x-1}$;

3) $y = \frac{4}{x+2}$;

4) $y = 4x - 5$.

Для нахождения функции, обратной данной функции $y = f(x)$, необходимо выполнить следующие действия:

1. В уравнении, задающем функцию, поменять местами переменные $x$ и $y$.
2. Из получившегося уравнения $x = f(y)$ выразить $y$ через $x$.
3. Полученное выражение $y = f^{-1}(x)$ и будет являться обратной функцией.

1) Дана функция $y = 0,2x + 3$.

1. Меняем местами переменные $x$ и $y$:
$x = 0,2y + 3$

2. Выражаем $y$ из этого уравнения:
$0,2y = x - 3$
$y = \frac{x - 3}{0,2}$

3. Упростим выражение. Так как $0,2 = \frac{1}{5}$, деление на $0,2$ эквивалентно умножению на 5:
$y = 5 \cdot (x - 3)$
$y = 5x - 15$

Ответ: $y = 5x - 15$

2) Дана функция $y = \frac{1}{x-1}$.

1. Меняем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{1}{y-1}$

2. Выражаем $y$. Для этого сначала выразим знаменатель $(y-1)$:
$y - 1 = \frac{1}{x}$

3. Теперь находим $y$:
$y = \frac{1}{x} + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{x} + 1$

3) Дана функция $y = \frac{4}{x+2}$.

1. Меняем местами переменные $x$ и $y$:
$x = \frac{4}{y+2}$

2. Выражаем $y$. Сначала выразим знаменатель $(y+2)$:
$y + 2 = \frac{4}{x}$

3. Находим $y$:
$y = \frac{4}{x} - 2$

Ответ: $y = \frac{4}{x} - 2$

4) Дана функция $y = 4x - 5$.

1. Меняем местами переменные $x$ и $y$:
$x = 4y - 5$

2. Выражаем $y$ из этого уравнения:
$4y = x + 5$
$y = \frac{x + 5}{4}$

Это выражение можно также записать в виде $y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$.

Ответ: $y = \frac{x+5}{4}$

3.6. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2\sqrt{x-1}$;

2) $y = x^2, D(y) = (-\infty; 0]$;

3) $y = \frac{1-x}{1+x}$.

1) Для функции $y = 2\sqrt{x-1}$ найдем обратную.

Сначала определим область определения и область значений. Область определения $D(y)$ требует, чтобы $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Таким образом, $D(y) = [1; +\infty)$. Область значений $E(y)$ определяется тем, что $\sqrt{x-1} \ge 0$, следовательно $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$:
$y = 2\sqrt{x-1}$
$\frac{y}{2} = \sqrt{x-1}$
$\left(\frac{y}{2}\right)^2 = x-1$
$\frac{y^2}{4} = x-1$
$x = \frac{y^2}{4} + 1$

Поменяв $x$ и $y$ местами, получим обратную функцию: $y = \frac{x^2}{4} + 1$. Область определения этой функции — это область значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = \frac{x^2}{4} + 1$ при $x \ge 0$.

2) Для функции $y = x^2$ с областью определения $D(y) = (-\infty; 0]$ найдем обратную.

На указанной области функция монотонна, значит, обратная функция существует. Область значений $E(y)$ для $x \in (-\infty; 0]$ есть $[0; +\infty)$.

Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{y}$. Поскольку по условию $x \le 0$ (исходная область определения), мы должны выбрать отрицательный корень: $x = -\sqrt{y}$.

Поменяв $x$ и $y$ местами, получим обратную функцию: $y = -\sqrt{x}$.

Ответ: $y = -\sqrt{x}$.

3) Для функции $y = \frac{1-x}{1+x}$ найдем обратную.

Область определения $D(y)$ задается условием $1+x \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Выразим $x$ через $y$:
$y(1+x) = 1-x$
$y + yx = 1-x$
$yx + x = 1-y$
$x(y+1) = 1-y$
$x = \frac{1-y}{1+y}$

Поменяв $x$ и $y$ местами, получим обратную функцию: $y = \frac{1-x}{1+x}$. Данная функция является обратной самой себе.

Ответ: $y = \frac{1-x}{1+x}$.

3.7. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = \frac{x+2}{x}$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

3) $y = \sqrt{x^2 - 4}, D(y) = [2; +\infty)$.

1)

Дана функция $y = \frac{x+2}{x}$. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$.

Область определения исходной функции $D(y)$: $x \neq 0$.

Преобразуем уравнение:

$y \cdot x = x + 2$

$yx - x = 2$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(y - 1) = 2$

Отсюда выражаем $x$:

$x = \frac{2}{y-1}$

Теперь, чтобы получить обратную функцию в стандартном виде, меняем местами переменные $x$ и $y$:

$y = \frac{2}{x-1}$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \frac{2}{x-1}$.

2)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Область определения исходной функции $D(y)$ задается условием $x > 0$. Область значений $E(y)$ также состоит из всех положительных чисел, т.е. $y > 0$.

Выразим $x$ через $y$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$y^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$

$y^2 = \frac{1}{x}$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{y^2}$

Меняем местами $x$ и $y$, чтобы записать обратную функцию:

$y = \frac{1}{x^2}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x > 0$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$, при $x > 0$.

3)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4}$ с областью определения $D(y) = [2; +\infty)$.

На этой области определения функция является монотонно возрастающей, а значит, обратимой.

Найдем область значений $E(y)$. При $x=2$, $y = \sqrt{2^2 - 4} = 0$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$. Возведем обе части уравнения в квадрат (это корректно, так как $y \ge 0$):

$y^2 = x^2 - 4$

$x^2 = y^2 + 4$

$x = \pm \sqrt{y^2 + 4}$

Согласно исходной области определения $D(y) = [2; +\infty)$, мы знаем, что $x \ge 2$. Поэтому мы должны выбрать знак "плюс" перед корнем:

$x = \sqrt{y^2 + 4}$

Меняем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:

$y = \sqrt{x^2 + 4}$

Область определения обратной функции - это область значений исходной функции, то есть $x \ge 0$.

Ответ: $y = \sqrt{x^2+4}$, при $x \ge 0$.

3.8. Пользуясь графиком функции $y = f(x)$, изображённым на рисунке 3.8, постройте график функции, обратной к функции $f$.

Рис. 3.8

a

б

График функции, обратной к функции $y=f(x)$, симметричен графику функции $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$. Это означает, что для получения графика обратной функции $y=f^{-1}(x)$ нужно отразить график исходной функции относительно этой прямой. Практически, если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $f$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику обратной функции $f^{-1}$.

Для построения графика функции, обратной к функции, изображенной на рисунке а, выберем несколько ключевых точек на исходном графике. Исходный график представляет собой показательную функцию, проходящую, например, через точки $(-1, 0.5)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$. Также у исходной функции есть горизонтальная асимптота $y=0$.

Чтобы получить точки для графика обратной функции, поменяем в каждой паре координаты местами: $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ исходной функции превратится в вертикальную асимптоту $x=0$ для обратной. Соединив полученные точки плавной кривой, получим график обратной функции, который является логарифмической кривой.

Ответ:

Аналогично поступим с функцией, изображенной на рисунке б. Этот график похож на кубическую параболу, смещенную вверх. Он проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 2)$ и $(1, 3)$. Точка $(0, 2)$ является точкой перегиба и центром симметрии графика.

Для построения графика обратной функции возьмем соответствующие точки с инвертированными координатами: $(1, -1)$, $(2, 0)$ и $(3, 1)$. Точка перегиба сместится в $(2, 0)$, которая станет центром симметрии для нового графика. Соединив эти точки, получим график функции, обратной к данной.

Ответ:

3.9. Пользуясь графиком функции $y = f (x)$, изображённым на рисунке 3.9, постройте график функции, обратной к функции $f$.

Рис. 3.8

a

б

Рис. 3.9

Для построения графика функции, обратной к данной функции $y = f(x)$, необходимо отразить график исходной функции симметрично относительно прямой $y = x$. Это означает, что если точка с координатами $(a; b)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$, то точка с координатами $(b; a)$ будет принадлежать графику обратной функции $y = f^{-1}(x)$.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$, изображённый на рисунке 3.9. Выберем на нём несколько характерных точек, координаты которых легко определить по сетке: $(4; -2)$, $(2; -1)$, $(1; 0)$ и $(0.5; 1)$.

Чтобы получить точки, принадлежащие графику обратной функции $y = f^{-1}(x)$, поменяем местами координаты $x$ и $y$ в каждой из выбранных точек. Получим следующие точки для построения нового графика: $(-2; 4)$, $(-1; 2)$, $(0; 1)$ и $(1; 0.5)$.

Исходный график имеет вертикальную асимптоту — ось $y$ (прямая $x = 0$). При симметричном отражении относительно прямой $y = x$ эта вертикальная асимптота преобразуется в горизонтальную асимптоту для обратной функции. Следовательно, график функции $y = f^{-1}(x)$ будет иметь горизонтальную асимптоту — ось $x$ (прямая $y = 0$).

Соединив полученные точки $(-2; 4)$, $(-1; 2)$, $(0; 1)$ и $(1; 0.5)$ плавной кривой и учитывая, что график приближается к оси $x$ при $x \to +\infty$, мы построим искомый график обратной функции. Для справки, исходная функция — это $y = -\log_2(x)$, а обратная ей — $y = (1/2)^x$.

На рисунке ниже показан процесс построения: исходный график (оранжевый), ось симметрии $y=x$ (пунктир) и искомый график обратной функции (синий).

Ответ:

График функции, обратной к функции $f$, изображён на рисунке:

3.10. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = -0.5x + 2;$

2) $y = \sqrt{x+1};$

3) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ 2x, \text{ если } x < 0. \end{cases}$

1)

Дана линейная функция $y = -0,5x + 2$. Её график — прямая. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из исходного уравнения: $y - 2 = -0,5x$ $x = \frac{y-2}{-0,5}$ $x = -2(y-2)$ $x = -2y + 4$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить функцию в привычном виде: $y = -2x + 4$. Это и есть обратная функция.

Для построения графиков в одной системе координат найдем по две точки для каждой прямой:

• Для $y = -0,5x + 2$: возьмем точки $(0, 2)$ и $(4, 0)$.
• Для $y = -2x + 4$: возьмем точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

Строим две прямые, проходящие через эти пары точек. Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -2x + 4$.

2)

Дана функция $y = \sqrt{x+1}$.

Найдем её область определения и область значений:

• Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Таким образом, $D(y) = [-1; +\infty)$.
• Область значений $E(y)$: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$: $y = \sqrt{x+1}$ При условии $y \ge 0$, возводим обе части в квадрат: $y^2 = x+1$ $x = y^2 - 1$

Меняем местами $x$ и $y$: $y = x^2 - 1$. Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 0$.

Для построения графиков:

• График $y = \sqrt{x+1}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(-1, 0)$ и проходящая через точки $(0, 1)$ и $(3, 2)$.
• График обратной функции $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, -1)$, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(2, 3)$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = x^2 - 1$, где $x \ge 0$.

3)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Эта функция определена и монотонно возрастает на всей числовой оси, поэтому она обратима. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем обратную функцию для каждого участка отдельно:

• При $x \ge 0$ имеем $y=x$. Область значений на этом участке $y \ge 0$. Обратная функция здесь очевидна: $x=y$, или $y=x$. Она будет определена при $x \ge 0$.
• При $x < 0$ имеем $y=2x$. Область значений на этом участке $y < 0$. Выразим $x$: $x = \frac{y}{2}$. Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \frac{x}{2}$ или $y=0,5x$. Эта часть обратной функции определена для $x < 0$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Для построения графиков:

• График исходной функции $y(x)$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y=x$ в первой четверти и луча $y=2x$ в третьей четверти.
• График обратной функции также состоит из двух лучей из начала координат: луча $y=x$ в первой четверти (он совпадает с частью исходного графика) и луча $y=0,5x$ в третьей четверти.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$. Луч $y=x$ при $x \ge 0$ симметричен сам себе. Лучи $y=2x$ и $y=0,5x$ при $x < 0$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

3.11. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = 3x - 1$;

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$;

3) $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0, \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

1) $y = 3x - 1$

Данная функция $y = 3x - 1$ является линейной. Её область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ и область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График этой функции — прямая линия. Для построения графика найдём две точки: при $x=0$, $y=-1$ (точка $(0, -1)$), и при $x=1$, $y=2$ (точка $(1, 2)$).

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 3x - 1$:

$y + 1 = 3x \Rightarrow x = \frac{y+1}{3}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить уравнение обратной функции: $y = \frac{x+1}{3}$ или $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

Графиком обратной функции также является прямая. Её точки можно получить, поменяв координаты точек исходной функции: $(-1, 0)$ и $(2, 1)$.

В одной системе координат строим прямую $y = 3x - 1$ по точкам $(0, -1)$ и $(1, 2)$, и прямую $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ по точкам $(-1, 0)$ и $(2, 1)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$

Данная функция определена на луче $[0, +\infty)$. Это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, -4)$. Найдём область значений функции. Поскольку $x \ge 0$, то $x^2 \ge 0$, следовательно $y = x^2 - 4 \ge -4$. Область значений $E(y) = [-4, +\infty)$. Ключевые точки для построения графика: вершина $(0, -4)$ и пересечение с осью Ox в точке $(2, 0)$ (так как $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x=2$ при $x \ge 0$).

Теперь найдём обратную функцию. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 - 4$:

$x^2 = y + 4$

$x = \pm\sqrt{y+4}$

Так как по условию $x \ge 0$, мы выбираем положительный корень: $x = \sqrt{y+4}$.

Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \sqrt{x+4}$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \ge -4$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $y \ge 0$.

График обратной функции $y = \sqrt{x+4}$ — это ветвь параболы, симметричная оси Ox, с началом в точке $(-4, 0)$. Ключевые точки: начало $(-4, 0)$ и пересечение с осью Oy $(0, 2)$. Эти точки симметричны точкам $(0, -4)$ и $(2, 0)$ исходного графика относительно прямой $y=x$.

Ответ: $y = \sqrt{x+4}$.

3) $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Найдём обратную функцию для каждого участка.

Участок 1: $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$. Область определения этого участка $D_1 = [0, +\infty)$, область значений $E_1 = [0, +\infty)$. Найдём обратную функцию: $y = \sqrt{x} \Rightarrow y^2 = x$. После замены $x$ на $y$ и наоборот, получаем $y = x^2$. Область определения обратной функции для этого участка равна $E_1$, то есть $x \ge 0$.

Участок 2: $y = \frac{1}{2}x$ при $x < 0$. Область определения этого участка $D_2 = (-\infty, 0)$, область значений $E_2 = (-\infty, 0)$. Найдём обратную функцию: $y = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = 2y$. После замены $x$ на $y$ и наоборот, получаем $y = 2x$. Область определения обратной функции для этого участка равна $E_2$, то есть $x < 0$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Для построения графиков: исходная функция $y=f(x)$ состоит из ветви параболы $y=\sqrt{x}$ (точки $(0,0), (1,1), (4,2)$) для $x \ge 0$ и прямой $y=0.5x$ (точки $(-2,-1), (-4,-2)$) для $x < 0$. Обратная функция $y=g(x)$ состоит из ветви параболы $y=x^2$ (точки $(0,0), (1,1), (2,4)$) для $x \ge 0$ и прямой $y=2x$ (точки $(-1,-2), (-2,-4)$) для $x < 0$. График обратной функции является зеркальным отражением графика исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.