Страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Как можно построить график функции $y = f(kx)$, используя график функции $y = f(x)$, если $k > 0$? $k = -1$? $k < 0$?

k > 0?

Чтобы построить график функции $y=f(kx)$ из графика функции $y=f(x)$ при $k>0$, необходимо выполнить преобразование, которое называется горизонтальным сжатием или растяжением графика относительно оси ординат (оси OY).

Рассмотрим произвольную точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $y=f(x)$. Это означает, что $y_0 = f(x_0)$. Для того чтобы найти соответствующую точку $(x_1, y_1)$ на графике функции $y=f(kx)$, нужно, чтобы выполнялось равенство $y_1=f(kx_1)$. Если мы хотим найти точку на новом графике с той же ординатой $y_1=y_0$, то должно выполняться $f(kx_1) = f(x_0)$. Отсюда следует, что $kx_1 = x_0$, или $x_1 = \frac{x_0}{k}$.

Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(\frac{x_0}{k}, y_0)$ нового графика. Все абсциссы точек графика делятся на коэффициент $k$.

• Если $k > 1$, то происходит сжатие графика к оси OY в $k$ раз.
• Если $0 < k < 1$, то происходит растяжение графика от оси OY в $\frac{1}{k}$ раз.

Ответ: Для построения графика функции $y=f(kx)$ из графика $y=f(x)$ при $k>0$ необходимо выполнить горизонтальное масштабирование графика относительно оси OY с коэффициентом $\frac{1}{k}$. Если $k>1$, это сжатие в $k$ раз; если $0<k<1$, это растяжение в $\frac{1}{k}$ раз.

k = -1?

При $k=-1$ функция принимает вид $y=f(-x)$.

Возьмем точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $y=f(x)$, так что $y_0 = f(x_0)$. Соответствующая точка $(x_1, y_1)$ на графике $y=f(-x)$ должна удовлетворять уравнению $y_1=f(-x_1)$. При $y_1=y_0$ имеем $f(-x_1)=f(x_0)$, откуда $-x_1 = x_0$, то есть $x_1 = -x_0$.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(-x_0, y_0)$. Такое преобразование является симметричным отражением (или зеркальным отображением) графика относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: Чтобы построить график функции $y=f(-x)$, нужно отразить график функции $y=f(x)$ симметрично относительно оси OY.

k < 0?

Этот случай является комбинацией двух предыдущих. Пусть $k < 0$. Мы можем представить $k$ как $-m$, где $m = -k = |k| > 0$. Тогда функция записывается в виде $y=f(kx) = f(-mx)$.

Построение графика можно разбить на два последовательных шага:

1. Сначала строим график функции $y=f(mx)$ из графика $y=f(x)$. Так как $m = |k| > 0$, это преобразование является горизонтальным масштабированием (сжатием или растяжением) относительно оси OY с коэффициентом $\frac{1}{m} = \frac{1}{|k|}$, как описано в первом пункте.
2. Затем строим график функции $y=f(-mx)$ из полученного на первом шаге графика $y=f(mx)$. Это преобразование, как описано во втором пункте, представляет собой симметричное отражение относительно оси OY.

Следовательно, для построения графика $y=f(kx)$ при $k<0$ нужно выполнить два преобразования над графиком $y=f(x)$: сначала сжать или растянуть его по горизонтали в $|k|$ раз, а затем отразить полученный график симметрично относительно оси OY.

Ответ: Для построения графика функции $y=f(kx)$ при $k<0$ необходимо выполнить горизонтальное масштабирование графика $y=f(x)$ с коэффициентом $\frac{1}{|k|}$ (сжатие к оси OY, если $|k|>1$; растяжение от оси OY, если $0<|k|<1$), а затем полученный график симметрично отразить относительно оси OY.

2.1. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x}{5}} ;$

2) $y = \sqrt{-2x}.$

1) Чтобы построить график функции $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$, выполним следующие действия:

Шаг 1: Нахождение области определения.
Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$\frac{x}{5} \ge 0$
Умножив обе части на 5, получаем:
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции будет располагаться в правой полуплоскости относительно оси OY, включая саму ось.

Шаг 2: Нахождение области значений.
По определению, арифметический квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение. Следовательно, $y \ge 0$.
Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции будет располагаться в верхней полуплоскости относительно оси OX, включая саму ось.
Из шагов 1 и 2 следует, что весь график находится в первой координатной четверти.

Шаг 3: Нахождение ключевых точек.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Для удобства будем выбирать такие значения $x$, при которых подкоренное выражение $\frac{x}{5}$ является полным квадратом.
- Если $x = 0$, то $y = \sqrt{\frac{0}{5}} = 0$. Получаем точку (0; 0). Это начальная точка графика.
- Если $x = 5$, то $y = \sqrt{\frac{5}{5}} = \sqrt{1} = 1$. Получаем точку (5; 1).
- Если $x = 20$, то $y = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (20; 2).

Шаг 4: Построение графика.
График функции $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$ — это ветвь параболы $x = 5y^2$ (при $y \ge 0$). Он начинается в точке (0; 0) и плавно поднимается вправо и вверх, проходя через вычисленные точки. По сравнению с графиком $y=\sqrt{x}$, данный график растянут вдоль оси абсцисс. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$ является ветвью параболы с вершиной в начале координат (0; 0), которая расположена в первой координатной четверти и проходит, например, через точки (5; 1) и (20; 2).

2) Чтобы построить график функции $y = \sqrt{-2x}$, выполним следующие действия:

Шаг 1: Нахождение области определения.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$-2x \ge 0$
Разделив обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется на противоположный), получаем:
$x \le 0$
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0]$. Это означает, что график функции будет располагаться в левой полуплоскости относительно оси OY, включая саму ось.

Шаг 2: Нахождение области значений.
Арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$.
Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции будет располагаться в верхней полуплоскости относительно оси OX, включая саму ось.
Из шагов 1 и 2 следует, что весь график находится во второй координатной четверти.

Шаг 3: Нахождение ключевых точек.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек. Будем выбирать такие неположительные значения $x$, при которых подкоренное выражение $-2x$ является полным квадратом.
- Если $x = 0$, то $y = \sqrt{-2 \cdot 0} = 0$. Получаем точку (0; 0). Это начальная точка графика.
- Если $x = -2$, то $y = \sqrt{-2 \cdot (-2)} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (-2; 2).
- Если $x = -4.5$, то $y = \sqrt{-2 \cdot (-4.5)} = \sqrt{9} = 3$. Получаем точку (-4.5; 3).
- Если $x = -8$, то $y = \sqrt{-2 \cdot (-8)} = \sqrt{16} = 4$. Получаем точку (-8; 4).

Шаг 4: Построение графика.
График функции $y = \sqrt{-2x}$ — это ветвь параболы $x = -\frac{y^2}{2}$ (при $y \ge 0$). Он начинается в точке (0; 0) и плавно поднимается влево и вверх, проходя через вычисленные точки. Этот график можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY и последующего преобразования. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-2x}$ является ветвью параболы с вершиной в начале координат (0; 0), которая расположена во второй координатной четверти и проходит, например, через точки (-2; 2) и (-8; 4).

2.2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{5x};$

2) $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}.$

1) $y = \sqrt{5x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{5x}$ необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти область определения функции.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. $5x \geq 0$
$x \geq 0$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график будет расположен в правой полуплоскости (включая ось OY).

Шаг 2: Найти координаты нескольких точек графика.
Составим таблицу значений, выбирая удобные значения $x$ из области определения, чтобы легко извлекать корень.

Шаг 3: Описать построение графика.
График функции $y = \sqrt{5x}$ является ветвью параболы. Его можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия к оси OY в 5 раз. График начинается в точке (0, 0) и плавно поднимается вверх, проходя через вычисленные точки. Он расположен в первой координатной четверти.

Ответ: График функции $y = \sqrt{5x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0, 0), расположенная в первой координатной четверти и проходящая через точки (0.2, 1), (1, $\sqrt{5}$), (5, 5).

2) $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$ выполним аналогичные шаги.

Шаг 1: Найти область определения функции.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. $-\frac{x}{3} \geq 0$
Умножим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x \leq 0$
Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0]$. Это означает, что график будет расположен в левой полуплоскости (включая ось OY).

Шаг 2: Найти координаты нескольких точек графика.
Составим таблицу значений, выбирая удобные отрицательные значения $x$ из области определения.

Шаг 3: Описать построение графика.
График функции $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$ также является ветвью параболы. Его можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ в два этапа: 1. Симметрично отразить график $y = \sqrt{x}$ относительно оси OY, получив график $y = \sqrt{-x}$. 2. Растянуть полученный график от оси OY в 3 раза.
График начинается в точке (0, 0) и плавно поднимается вверх, уходя влево. Он расположен во второй координатной четверти.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0, 0), расположенная во второй координатной четверти и проходящая через точки (-3, 1), (-12, 2), (-27, 3).

2.3. Постройте график функции:

1) $y = (2x - 1)^2 - 4;$

2) $y = \left(\frac{1}{2}x - 1\right)^2 - 4.$

1) $y = (2x - 1)^2 - 4$

Для построения графика данной функции, мы будем использовать метод преобразований графика базовой функции $y = x^2$. Данная функция является квадратичной, её график — парабола.

Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.
$y = (2x - 1)^2 - 4 = (2(x - \frac{1}{2}))^2 - 4 = 2^2(x - \frac{1}{2})^2 - 4 = 4(x - \frac{1}{2})^2 - 4$.

Из полученного уравнения видно, что график функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{1}{2}$ единицы.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 4 раза (ветви параболы станут "уже").
3. Сдвиг вниз по оси Oy на 4 единицы.

Найдем ключевые точки для построения графика:
Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$ равны $(\frac{1}{2}, -4)$.
Ось симметрии: Прямая $x = h$, то есть $x = \frac{1}{2}$.
Пересечение с осью Oy: Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = (2 \cdot 0 - 1)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): Для этого приравняем $y$ к нулю:
$(2x - 1)^2 - 4 = 0$
$(2x - 1)^2 = 4$
$2x - 1 = 2$ или $2x - 1 = -2$
$2x = 3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$
$2x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$
Точки пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость вершину $(\frac{1}{2}, -4)$, точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(1.5, 0)$, $(-0.5, 0)$ и проведем через них параболу, симметричную относительно прямой $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: Графиком функции $y = (2x - 1)^2 - 4$ является парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = \frac{1}{2}$. Точки пересечения с осями координат: $(0, -3)$, $(1.5, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

2) $y = (\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4$

Аналогично первому пункту, построим график этой функции, преобразуя базовую параболу $y = x^2$.

Приведем уравнение к виду $y = a(x - h)^2 + k$:
$y = (\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4 = (\frac{1}{2}(x - 2))^2 - 4 = (\frac{1}{2})^2(x - 2)^2 - 4 = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 4$.

График этой функции можно получить из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на 2 единицы.
2. Сжатие вдоль оси Oy в 4 раза (или растяжение с коэффициентом $\frac{1}{4}$, ветви параболы станут "шире").
3. Сдвиг вниз по оси Oy на 4 единицы.

Найдем ключевые точки для построения графика:
Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$ равны $(2, -4)$.
Ось симметрии: Прямая $x = h$, то есть $x = 2$.
Пересечение с осью Oy: Подставим $x=0$ в уравнение:
$y = (\frac{1}{2} \cdot 0 - 1)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): Приравняем $y$ к нулю:
$(\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4 = 0$
$(\frac{1}{2}x - 1)^2 = 4$
$\frac{1}{2}x - 1 = 2$ или $\frac{1}{2}x - 1 = -2$
$\frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x_1 = 6$
$\frac{1}{2}x = -1 \Rightarrow x_2 = -2$
Точки пересечения с осью Ox: $(6, 0)$ и $(-2, 0)$.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость вершину $(2, -4)$, точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(6, 0)$, $(-2, 0)$ и проведем через них параболу, симметричную относительно прямой $x = 2$.

Ответ: Графиком функции $y = (\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4$ является парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = 2$. Точки пересечения с осями координат: $(0, -3)$, $(6, 0)$ и $(-2, 0)$.

2.4. Постройте график функции:

1) $y = (3x + 2)^2 - 1$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}x + 1\right)^2 - 1.$

1) $y = (3x + 2)^2 - 1$

График данной функции – это парабола. Для ее построения преобразуем уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ – координаты вершины параболы.

Вынесем коэффициент 3 за скобки внутри выражения в квадрате:
$y = (3(x + \frac{2}{3}))^2 - 1 = 3^2(x + \frac{2}{3})^2 - 1 = 9(x - (-\frac{2}{3}))^2 - 1$.

Из этого вида уравнения можно определить характеристики параболы:

• Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0; y_0) = (-\frac{2}{3}; -1)$.
• Коэффициент $a = 9$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $|a| > 1$, парабола является "узкой", то есть она сжата к оси OY по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Алгоритм построения графика функции $y = (3x+2)^2-1$ путем преобразований графика $y=x^2$:

1. Построить график базовой параболы $y=x^2$.
2. Сжать его вдоль оси OX в 3 раза (что эквивалентно растяжению вдоль оси OY в 9 раз) для получения графика $y=(3x)^2 = 9x^2$.
3. Сдвинуть полученный график влево вдоль оси OX на $\frac{2}{3}$ единицы, чтобы получить график $y = 9(x + \frac{2}{3})^2$.
4. Сдвинуть полученный график вниз вдоль оси OY на 1 единицу, чтобы получить искомый график $y = 9(x + \frac{2}{3})^2 - 1$.

Для большей точности найдем точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью OY (для этого подставляем $x=0$):
  $y = (3 \cdot 0 + 2)^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
  Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.
• Пересечение с осью OX (для этого подставляем $y=0$):
  $0 = (3x + 2)^2 - 1 \implies (3x + 2)^2 = 1$.
  Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
  $3x + 2 = 1$ или $3x + 2 = -1$.
  $3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.
  $3x = -3 \implies x = -1$.
  Точки пересечения с осью OX: $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: График функции $y = (3x+2)^2-1$ – это парабола с вершиной в точке $(-\frac{2}{3}; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 3)$ и ось OX в точках $(-1; 0)$ и $(-\frac{1}{3}; 0)$.

2) $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1$

График этой функции также является параболой. Приведем уравнение к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

Вынесем коэффициент $\frac{1}{3}$ за скобки:
$y = (\frac{1}{3}(x + 3))^2 - 1 = (\frac{1}{3})^2(x + 3)^2 - 1 = \frac{1}{9}(x - (-3))^2 - 1$.

Из этого уравнения следует:

• Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0; y_0) = (-3; -1)$.
• Коэффициент $a = \frac{1}{9}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $0 < |a| < 1$, парабола является "широкой", то есть она растянута от оси OY по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Алгоритм построения графика функции $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1$ путем преобразований графика $y=x^2$:

1. Построить график базовой параболы $y=x^2$.
2. Растянуть его вдоль оси OX в 3 раза (что эквивалентно сжатию вдоль оси OY в 9 раз) для получения графика $y=(\frac{1}{3}x)^2 = \frac{1}{9}x^2$.
3. Сдвинуть полученный график влево вдоль оси OX на 3 единицы, чтобы получить график $y = \frac{1}{9}(x + 3)^2$.
4. Сдвинуть полученный график вниз вдоль оси OY на 1 единицу, чтобы получить искомый график $y = \frac{1}{9}(x + 3)^2 - 1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью OY (подставляем $x=0$):
  $y = (\frac{1}{3} \cdot 0 + 1)^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0$.
  Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$ (начало координат).
• Пересечение с осью OX (подставляем $y=0$):
  $0 = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1 \implies (\frac{1}{3}x + 1)^2 = 1$.
  Извлекаем квадратный корень:
  $\frac{1}{3}x + 1 = 1$ или $\frac{1}{3}x + 1 = -1$.
  $\frac{1}{3}x = 0 \implies x = 0$.
  $\frac{1}{3}x = -2 \implies x = -6$.
  Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(-6; 0)$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1$ – это парабола с вершиной в точке $(-3; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через начало координат $(0; 0)$ и пересекает ось OX также в точке $(-6; 0)$.

2.5. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{4x+1}$;

2) $y = \frac{1}{1-4x}$.

1) $y = \frac{1}{4x + 1}$

Данная функция является дробно-линейной, её график — гипербола. Для построения графика исследуем функцию.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $4x + 1 \neq 0$ $4x \neq -1$ $x \neq -\frac{1}{4}$ Область определения: $D(y) = (-\infty; -0.25) \cup (-0.25; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Из области определения следует, что прямая $x = -0.25$ является вертикальной асимптотой. Чтобы найти горизонтальную асимптоту, посмотрим, к чему стремится $y$ при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{4x + 1} = 0$. Следовательно, прямая $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

3. Преобразование графика.

График функции $y = \frac{1}{4x + 1}$ можно получить из графика базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований: $y = \frac{1}{4(x + \frac{1}{4})} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + \frac{1}{4}}$ Это означает:

• Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ влево на $\frac{1}{4}$ единицы, чтобы получить $y = \frac{1}{x + \frac{1}{4}}$.
• Сжатие полученного графика к оси Ox в 4 раза.

Поскольку коэффициент при дроби ($\frac{1}{4}$) положительный, ветви гиперболы будут расположены в I и III координатных четвертях относительно новых асимптот.

4. Контрольные точки.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{4 \cdot 0 + 1} = 1$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.
• При $y=0$, $\frac{1}{4x+1} = 0$, решений нет. График не пересекает ось Ox, что соответствует тому, что $y=0$ — горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в нескольких дополнительных точках:

5. Построение графика.

1. Строим систему координат.
2. Проводим асимптоты: вертикальную прямую $x = -0.25$ и горизонтальную прямую $y = 0$.
3. Отмечаем вычисленные точки: $(-1.25, -0.25)$, $(-0.5, -1)$, $(0, 1)$, $(0.75, 0.25)$.
4. Плавно соединяем точки, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам. Одна ветвь находится вверху справа от асимптот, другая — внизу слева.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -0.25$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот. График проходит через точку $(0, 1)$.

2) $y = \frac{1}{1 - 4x}$

Это также дробно-линейная функция, и её график — гипербола.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - 4x \neq 0$ $4x \neq 1$ $x \neq \frac{1}{4}$ Область определения: $D(y) = (-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Прямая $x = 0.25$ является вертикальной асимптотой. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - 4x} = 0$. Прямая $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

3. Преобразование графика.

График функции $y = \frac{1}{1 - 4x}$ можно получить из графика $y = \frac{1}{x}$: $y = \frac{1}{-4(x - \frac{1}{4})} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - \frac{1}{4}}$ Это означает:

• Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ вправо на $\frac{1}{4}$ единицы, чтобы получить $y = \frac{1}{x - \frac{1}{4}}$.
• Отражение полученного графика относительно оси Ox.
• Сжатие к оси Ox в 4 раза.

Из-за отрицательного коэффициента ($-\frac{1}{4}$) ветви гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях относительно новых асимптот.

4. Контрольные точки.

Найдем точки пересечения с осями:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{1 - 4 \cdot 0} = 1$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.
• При $y=0$, $\frac{1}{1-4x} = 0$, решений нет. График не пересекает ось Ox.

Вычислим значения функции в нескольких дополнительных точках:

5. Построение графика.

1. Строим систему координат.
2. Проводим асимптоты: вертикальную прямую $x = 0.25$ и горизонтальную прямую $y = 0$.
3. Отмечаем вычисленные точки: $(-0.75, 0.25)$, $(0, 1)$, $(0.5, -1)$, $(1.25, -0.25)$.
4. Плавно соединяем точки, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам. Одна ветвь находится вверху слева от асимптот, другая — внизу справа.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 0.25$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. График проходит через точку $(0, 1)$.

2.6. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3x+1}$;

2) $y = \frac{1}{1-3x}$.

1) $y=\frac{1}{3x+1}$

Для построения графика данной функции, которая является дробно-линейной, проанализируем ее свойства. Графиком является гипербола.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$3x+1 \neq 0 \implies 3x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Из области определения следует, что прямая $x = -\frac{1}{3}$ является вертикальной асимптотой графика.

Для нахождения горизонтальной асимптоты найдем предел функции при $x$, стремящемся к бесконечности:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{3x+1} = 0$.

Следовательно, прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.

3. Построение по точкам.

График данной функции можно получить из графика базовой гиперболы $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига и сжатия. Центр симметрии новой гиперболы находится в точке пересечения асимптот $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Найдем несколько контрольных точек для построения ветвей гиперболы.

Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy), подставив $x=0$:

$y(0) = \frac{1}{3 \cdot 0 + 1} = 1$. Точка пересечения — $(0; 1)$.

Вычислим значения функции в нескольких других точках по обе стороны от вертикальной асимптоты:

• Если $x=1$, то $y = \frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4}$. Точка $(1; 0.25)$.
• Если $x=-1$, то $y = \frac{1}{3 \cdot (-1) + 1} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(-1; -0.5)$.
• Если $x=-\frac{2}{3}$, то $y = \frac{1}{3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 1} = \frac{1}{-2+1} = -1$. Точка $(-\frac{2}{3}; -1)$.

4. Построение графика.

В системе координат строим асимптоты: пунктирные линии $x = -\frac{1}{3}$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки $(0; 1)$, $(1; 0.25)$, $(-1; -0.5)$, $(-\frac{2}{3}; -1)$ и соединяем их плавными кривыми, приближающимися к асимптотам. Ветви гиперболы будут расположены в первой и третьей четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -\frac{1}{3}$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах I и III относительно точки пересечения асимптот $(-\frac{1}{3}; 0)$. График проходит через точки $(-1; -0.5)$, $(-\frac{2}{3}; -1)$, $(0; 1)$.

2) $y=\frac{1}{1-3x}$

Данная функция также является дробно-линейной, ее график — гипербола.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$1-3x \neq 0 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{3}$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x = \frac{1}{3}$.

Горизонтальная асимптота (предел при $x \to \pm\infty$):

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1-3x} = 0$.

Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).

3. Построение по точкам.

Центр симметрии гиперболы — точка $(\frac{1}{3}; 0)$.

Преобразуем функцию: $y = \frac{1}{1-3x} = \frac{1}{-(3x-1)} = -\frac{1}{3x-1}$. Знак "минус" перед дробью означает, что ветви гиперболы будут расположены во второй и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот).

Найдем контрольные точки:

Точка пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y(0) = \frac{1}{1 - 3 \cdot 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.

Другие точки:

• Если $x=1$, то $y = \frac{1}{1 - 3 \cdot 1} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(1; -0.5)$.
• Если $x=\frac{2}{3}$, то $y = \frac{1}{1 - 3 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{1}{1-2} = -1$. Точка $(\frac{2}{3}; -1)$.
• Если $x=-1$, то $y = \frac{1}{1 - 3 \cdot (-1)} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$. Точка $(-1; 0.25)$.

4. Построение графика.

В системе координат строим асимптоты $x = \frac{1}{3}$ и $y=0$. Наносим точки $(0; 1)$, $(1; -0.5)$, $(\frac{2}{3}; -1)$, $(-1; 0.25)$ и проводим через них ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно центра $(\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = \frac{1}{3}$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах II и IV относительно точки пересечения асимптот $(\frac{1}{3}; 0)$. График проходит через точки $(-1; 0.25)$, $(0; 1)$, $(\frac{2}{3}; -1)$, $(1; -0.5)$.

2.7. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x-1}$; 2) $y = \sqrt{3-4x}$; 3) $y = \sqrt{\frac{1}{2}x+2}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x-1}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.
$2x - 1 \ge 0$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

2. Определим вид графика и его преобразования.
График данной функции является преобразованным графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{2(x - \frac{1}{2})}$. Это означает, что для получения нашего графика, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно:
а) сжать по горизонтали к оси OY в 2 раза;
б) сдвинуть по горизонтали (вдоль оси OX) на $\frac{1}{2}$ единицы вправо.
Начальная точка (вершина) графика находится в точке, где подкоренное выражение равно нулю. Для $x = \frac{1}{2}$, $y=0$. Таким образом, вершина находится в точке $(\frac{1}{2}, 0)$.

3. Найдём несколько контрольных точек для построения.
- При $x = \frac{1}{2}$, $y = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(\frac{1}{2}, 0)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
- При $x = 2.5$, $y = \sqrt{2 \cdot 2.5 - 1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2.5, 2)$.
- При $x = 5$, $y = \sqrt{2 \cdot 5 - 1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(5, 3)$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости начальную точку $(\frac{1}{2}, 0)$ и найденные контрольные точки. Соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, направленную вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x-1}$ — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$, которая проходит через точки $(1, 1)$, $(2.5, 2)$ и $(5, 3)$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{3-4x}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$3 - 4x \ge 0$
$3 \ge 4x$
$x \le \frac{3}{4}$
Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; \frac{3}{4}]$.

2. Определим вид графика и его преобразования.
График данной функции является преобразованным графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{-4(x - \frac{3}{4})}$. Это означает, что для получения нашего графика, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно:
а) отразить симметрично относительно оси OY (получаем $y=\sqrt{-x}$);
б) сжать по горизонтали к оси OY в 4 раза;
в) сдвинуть по горизонтали на $\frac{3}{4}$ единицы вправо.
Начальная точка (вершина) графика находится в точке $(\frac{3}{4}, 0)$. Ветви графика направлены влево.

3. Найдём несколько контрольных точек для построения.
- При $x = \frac{3}{4}$, $y = \sqrt{3 - 4 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(\frac{3}{4}, 0)$.
- При $x = 0$, $y = \sqrt{3 - 4 \cdot 0} = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка $(0, \sqrt{3})$.
- При $x = -\frac{1}{4}$, $y = \sqrt{3 - 4(-\frac{1}{4})} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-\frac{1}{4}, 2)$.
- При $x = -2$, $y = \sqrt{3 - 4(-2)} = \sqrt{3+8} = \sqrt{11} \approx 3.32$. Точка $(-2, \sqrt{11})$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости начальную точку $(\frac{3}{4}, 0)$ и найденные контрольные точки. Соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, направленную влево и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3-4x}$ — это ветвь параболы с вершиной в точке $(\frac{3}{4}, 0)$, которая проходит через точки $(0, \sqrt{3})$, $(-\frac{1}{4}, 2)$ и $(-2, \sqrt{11})$, и направлена влево.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\frac{1}{2}x+2}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции.
Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$\frac{1}{2}x + 2 \ge 0$
$\frac{1}{2}x \ge -2$
$x \ge -4$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Определим вид графика и его преобразования.
График данной функции является преобразованным графиком базовой функции $y = \sqrt{x}$. Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{\frac{1}{2}(x+4)}$. Это означает, что для получения нашего графика, график функции $y = \sqrt{x}$ нужно:
а) растянуть по горизонтали от оси OY в 2 раза;
б) сдвинуть по горизонтали на 4 единицы влево.
Начальная точка (вершина) графика находится в точке $(-4, 0)$.

3. Найдём несколько контрольных точек для построения.
- При $x = -4$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-4)+2} = \sqrt{-2+2} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-4, 0)$.
- При $x = -2$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(-2)+2} = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-2, 1)$.
- При $x = 0$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(0)+2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(2)+2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка $(2, \sqrt{3})$.
- При $x = 14$, $y = \sqrt{\frac{1}{2}(14)+2} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(14, 3)$.

4. Построение графика.
Отметим на координатной плоскости начальную точку $(-4, 0)$ и найденные контрольные точки. Соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, направленную вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{1}{2}x+2}$ — это ветвь параболы с вершиной в точке $(-4, 0)$, которая проходит через точки $(-2, 1)$, $(0, \sqrt{2})$ и $(14, 3)$.

2.8. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x + 1}$;

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$.

1) $y = \sqrt{3x+1}$

Для построения графика функции, сначала определим ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$3x+1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -1/3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-1/3; +\infty)$.

Область значений функции, поскольку арифметический корень всегда неотрицателен, будет $E(y) = [0; +\infty)$.

График этой функции — это ветвь параболы. Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Удобно выбирать такие значения $x$, при которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Ключевые точки:
- Начальная точка: при $x = -1/3$, $y = \sqrt{3(-1/3)+1} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-1/3; 0)$.
- При $x = 0$, $y = \sqrt{3(0)+1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0; 1)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1; 2)$.
- При $x = 8/3$, $y = \sqrt{3(8/3)+1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(8/3; 3)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим искомый график. Он начинается в точке $(-1/3; 0)$ и уходит вправо и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{3x+1}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-1/3; 0)$ и проходит через точки $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(8/3; 3)$.

2) $y = \sqrt{5-2x}$

Определим область определения функции из условия, что подкоренное выражение неотрицательно:
$5-2x \ge 0$
$5 \ge 2x$
$x \le 5/2$ или $x \le 2.5$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2.5]$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

График этой функции — это ветвь параболы. Найдем координаты ключевых точек для построения.
Ключевые точки:
- Начальная точка: при $x = 2.5$, $y = \sqrt{5-2(2.5)} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(2.5; 0)$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{5-2(2)} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2; 1)$.
- При $x = 0.5$, $y = \sqrt{5-2(0.5)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(0.5; 2)$.
- При $x = -2$, $y = \sqrt{5-2(-2)} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-2; 3)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график. Он начинается в точке $(2.5; 0)$ и уходит влево и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{5-2x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(2.5; 0)$ и проходит через точки $(2; 1)$, $(0.5; 2)$ и $(-2; 3)$.

2.9. Постройте график функции:

1) $y=2\sqrt{3x-1}+1$;

2) $y=3(2x+1)^2-2$.

1) Построим график функции $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$.

Данный график можно получить путем преобразований из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x - 1 \ge 0$ $3x \ge 1$ $x \ge \frac{1}{3}$ Следовательно, область определения функции: $D(y) = [\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Нахождение начальной точки графика. График начинается в точке, где $x$ принимает минимальное значение из ОДЗ, то есть $x = \frac{1}{3}$. Найдем соответствующее значение $y$: $y(\frac{1}{3}) = 2\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{1 - 1} + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Таким образом, начальная точка графика имеет координаты $(\frac{1}{3}; 1)$.

3. Нахождение нескольких дополнительных точек. Для более точного построения найдем еще несколько точек, выбирая значения $x$ так, чтобы извлекался целый корень.

   • Пусть $3x - 1 = 1$. Тогда $3x = 2$, $x = \frac{2}{3}$. $y = 2\sqrt{1} + 1 = 2 + 1 = 3$. Точка $(\frac{2}{3}; 3)$.
   • Пусть $3x - 1 = 4$. Тогда $3x = 5$, $x = \frac{5}{3}$. $y = 2\sqrt{4} + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Точка $(\frac{5}{3}; 5)$.
   • Пусть $3x - 1 = 9$. Тогда $3x = 10$, $x = \frac{10}{3}$. $y = 2\sqrt{9} + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Точка $(\frac{10}{3}; 7)$.

4. Описание построения. График функции $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{3}; 1)$ и проходящая через точки $(\frac{2}{3}; 3)$, $(\frac{5}{3}; 5)$, $(\frac{10}{3}; 7)$. Его можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ следующими преобразованиями:
   1. Сжатие к оси OY в 3 раза ($y=\sqrt{3x}$).
   2. Сдвиг вправо на $\frac{1}{3}$ ($y=\sqrt{3(x-\frac{1}{3})}$).
   3. Растяжение вдоль оси OY в 2 раза ($y=2\sqrt{3x-1}$).
   4. Сдвиг вверх на 1 ($y=2\sqrt{3x-1}+1$).

Ответ: График функции представляет собой ветвь параболы с началом в точке $(\frac{1}{3}; 1)$ и проходящую, например, через точки $(\frac{2}{3}; 3)$ и $(\frac{5}{3}; 5)$, направленную вверх и вправо.

2) Построим график функции $y = 3(2x + 1)^2 - 2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

1. Нахождение вершины параболы. Вынесем 2 за скобки внутри квадрата: $y = 3(2(x + \frac{1}{2}))^2 - 2 = 3 \cdot 2^2(x + \frac{1}{2})^2 - 2 = 12(x - (-\frac{1}{2}))^2 - 2$. Из этого вида следует, что координаты вершины параболы: $(h; k) = (-\frac{1}{2}; -2)$.

2. Определение направления ветвей. Коэффициент при квадрате $a = 12$ положителен ($12 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   • Пересечение с осью OY (осью ординат): подставим $x = 0$. $y(0) = 3(2 \cdot 0 + 1)^2 - 2 = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 1)$.

   • Пересечение с осью OX (осью абсцисс): подставим $y = 0$. $0 = 3(2x + 1)^2 - 2$ $3(2x + 1)^2 = 2$ $(2x + 1)^2 = \frac{2}{3}$ $2x + 1 = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$ $2x = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ $x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$. Точки пересечения с осью OX: $(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6}; 0)$ и $(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}; 0)$.

4. Нахождение симметричной точки. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -\frac{1}{2}$. Точка $(0; 1)$ находится на расстоянии $\frac{1}{2}$ от оси симметрии. Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату $y=1$ и абсциссу $x = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$. Точка, симметричная точке пересечения с OY: $(-1; 1)$.

5. Описание построения. Для построения графика отмечаем вершину $(-\frac{1}{2}; -2)$, точку пересечения с осью OY $(0; 1)$ и симметричную ей точку $(-1; 1)$. Через эти три точки проводим параболу, ветви которой направлены вверх.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}; -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 1)$.

2.10. Постройте график функции:

1) $y = 4\\sqrt{2x - 3} - 1$;

2) $y = 2(3x - 1)^2 + 1.$

1) Чтобы построить график функции $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1$, мы будем исходить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ и применять к нему последовательные преобразования.

1. Область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$2x - 3 \ge 0$
$2x \ge 3$
$x \ge 1.5$
Таким образом, график функции существует только при $x \ge 1.5$.

2. Начальная точка графика. График начинается в точке, где подкоренное выражение равно нулю.
При $x = 1.5$, значение функции $y = 4\sqrt{2(1.5) - 3} - 1 = 4\sqrt{0} - 1 = -1$.
Следовательно, начальная точка (вершина) графика — $(1.5; -1)$.

3. Построение графика по точкам. Для более точного построения найдем координаты нескольких дополнительных точек:
- при $x = 2$: $y = 4\sqrt{2(2) - 3} - 1 = 4\sqrt{1} - 1 = 3$. Точка $(2; 3)$.
- при $x = 3.5$: $y = 4\sqrt{2(3.5) - 3} - 1 = 4\sqrt{4} - 1 = 4 \cdot 2 - 1 = 7$. Точка $(3.5; 7)$.
- при $x = 6.5$: $y = 4\sqrt{2(6.5) - 3} - 1 = 4\sqrt{10} - 1 \approx 4 \cdot 3.16 - 1 = 12.64 - 1 = 11.64$. Точка $(6.5; \approx 11.64)$.

График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(1.5; -1)$ и идущую вправо и вверх. Он получен из графика $y = \sqrt{x}$ путем следующих преобразований: сжатие к оси $Oy$ в 2 раза, растяжение от оси $Ox$ в 4 раза, сдвиг на 1.5 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(1.5; -1)$ и проходит через точки $(2; 3)$ и $(3.5; 7)$.

2) Чтобы построить график функции $y = 2(3x - 1)^2 + 1$, определим её ключевые характеристики. Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Вершина параболы. Функция записана в форме, из которой легко найти вершину. Квадрат $(3x - 1)^2$ всегда неотрицателен и достигает своего минимума (нуля) при $3x - 1 = 0$, то есть $x = 1/3$.
При $x = 1/3$, значение функции $y = 2(3 \cdot \frac{1}{3} - 1)^2 + 1 = 2(0)^2 + 1 = 1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1/3; 1)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $2$ перед скобкой положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Построение графика по точкам. Найдем несколько точек для более точного построения. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1/3$.
- Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 2(3 \cdot 0 - 1)^2 + 1 = 2(-1)^2 + 1 = 3$. Точка $(0; 3)$.
- Найдем точку, симметричную точке $(0; 3)$ относительно оси $x = 1/3$. Её абсцисса $x = 1/3 + (1/3 - 0) = 2/3$. Точка $(2/3; 3)$.
- Возьмем $x = 1$:
$y = 2(3 \cdot 1 - 1)^2 + 1 = 2(2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$. Точка $(1; 9)$.
- Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1/3 - (1 - 1/3) = -1/3$. Точка $(-1/3; 9)$.

Уравнение можно привести к стандартному виду $y = a(x-h)^2+k$:
$y = 2(3(x - 1/3))^2 + 1 = 2 \cdot 9(x - 1/3)^2 + 1 = 18(x - 1/3)^2 + 1$.
Это показывает, что график $y=x^2$ был растянут в 18 раз вдоль оси $Oy$ и затем смещен на $1/3$ вправо и на $1$ вверх.

Ответ: График функции $y = 2(3x - 1)^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1/3; 1)$, ветви которой направлены вверх. График симметричен относительно прямой $x=1/3$ и проходит через точки $(0; 3)$, $(2/3; 3)$, $(1; 9)$ и $(-1/3; 9)$.

2.11. Цену на товар повысили на 25 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы она вернулась к первоначальному уровню?

Пусть первоначальная цена товара составляет $x$ условных единиц.

1. Находим новую цену после повышения.
Первоначальную цену повысили на 25%. Чтобы найти новую цену, нужно к старой цене прибавить 25% от нее.
25% от $x$ это $0.25x$.
Новая цена: $x + 0.25x = 1.25x$.
Итак, новая цена составляет $1.25x$.

2. Находим, на сколько процентов нужно снизить новую цену.
Теперь нам нужно вернуться от новой цены $1.25x$ к первоначальной цене $x$. Для этого найдем разницу между новой и старой ценой:
$1.25x - x = 0.25x$.
Чтобы найти, какой процент эта разница составляет от новой цены, нужно разделить разницу на новую цену и умножить на 100%. Новая цена ($1.25x$) теперь является базой для расчета (100%).
Процент снижения = $\frac{\text{сумма снижения}}{\text{новая цена}} \times 100\%$
Процент снижения = $\frac{0.25x}{1.25x} \times 100\%$
Сокращаем $x$:
Процент снижения = $\frac{0.25}{1.25} \times 100\%$
$\frac{0.25}{1.25} = \frac{25}{125} = \frac{1}{5} = 0.2$
Процент снижения = $0.2 \times 100\% = 20\%$

Таким образом, чтобы вернуться к первоначальной цене, новую цену необходимо снизить на 20%.

Ответ: на 20%.

2.12. Было 200 г 8%-го раствора соли. Через некоторое время 40 г воды испарили. Каким стало процентное содержание соли в растворе?

Для решения этой задачи нужно выполнить три шага: найти исходное количество соли в граммах, определить новую массу раствора после испарения воды и, наконец, рассчитать новую процентную концентрацию соли.

1. Вычисление массы соли в исходном растворе
Исходная масса раствора составляет 200 г, а концентрация соли — 8%. Чтобы найти массу соли, нужно массу раствора умножить на массовую долю соли. Массовая доля равна проценту, деленному на 100.
Масса соли ($m_{соли}$) вычисляется по формуле:
$m_{соли} = m_{раствора} \times \frac{Процент}{100}$
$m_{соли} = 200 \text{ г} \times \frac{8}{100} = 200 \times 0.08 = 16 \text{ г}$
Таким образом, в начальном растворе содержится 16 г соли.

2. Вычисление новой массы раствора
В процессе испарения из раствора удаляется только вода, а масса соли остается неизменной. Из начального раствора массой 200 г испарили 40 г воды. Новая масса раствора ($m_{новый\_раствор}$) будет меньше на массу испарившейся воды.
$m_{новый\_раствор} = m_{исходный\_раствор} - m_{испаренной\_воды}$
$m_{новый\_раствор} = 200 \text{ г} - 40 \text{ г} = 160 \text{ г}$

3. Вычисление нового процентного содержания соли
Теперь у нас есть новая масса раствора (160 г) и неизменная масса соли (16 г). Новое процентное содержание соли ($\omega_{новая}$) — это отношение массы соли к новой массе раствора, умноженное на 100%.
$\omega_{новая} = \frac{m_{соли}}{m_{новый\_раствор}} \times 100\%$
$\omega_{новая} = \frac{16 \text{ г}}{160 \text{ г}} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$

Ответ: 10%.