Страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.43. Верно ли утверждение:

1) каждая прямая, параллельная оси ординат, пересекает график любой функции в одной точке;

2) прямая, параллельная оси абсцисс, может не пересекать график функции;

3) прямая, параллельная оси ординат, не может пересекать график функции более чем в одной точке?

1) каждая прямая, параллельная оси ординат, пересекает график любой функции в одной точке;

Это утверждение неверно. Прямая, параллельная оси ординат (вертикальная прямая), имеет уравнение вида $x = c$, где $c$ - некоторая константа. Такая прямая задает все точки с одной и той же абсциссой $c$. Согласно определению функции, каждому значению аргумента $x$ из области определения функции должно соответствовать единственное значение функции $y$. Утверждение было бы верным, если бы область определения любой функции была вся числовая прямая. Однако это не так. Если число $c$ не входит в область определения функции $f(x)$, то прямая $x = c$ не будет иметь ни одной общей точки с графиком этой функции. Например, рассмотрим функцию $y = \ln(x)$. Ее область определения — $x > 0$. Прямая $x = -2$, параллельная оси ординат, не пересекает график этой функции, поскольку $-2$ не входит в область определения.

Ответ: неверно.

2) прямая, параллельная оси абсцисс, может не пересекать график функции;

Это утверждение верно. Прямая, параллельная оси абсцисс (горизонтальная прямая), имеет уравнение вида $y = k$, где $k$ - некоторая константа. Пересечение такой прямой с графиком функции $y = f(x)$ означает, что существует такое значение $x$, при котором $f(x) = k$. Это равносильно тому, что число $k$ принадлежит области значений функции. Если выбрать число $k$, которое не входит в область значений функции, то прямая $y = k$ не будет пересекать ее график. Например, для функции $y = x^2$ область значений — это множество всех неотрицательных чисел, то есть $y \in [0, +\infty)$. Прямая $y = -1$ не пересекает график этой функции, так как уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных решений.

Ответ: верно.

3) прямая, параллельная оси ординат, не может пересекать график функции более чем в одной точке?

Это утверждение верно. Оно является прямым следствием определения функции. По определению, для каждого значения аргумента $x$ из области определения функции существует ровно одно соответствующее ему значение функции $y$. Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением $x = c$. Если бы эта прямая пересекала график функции $y = f(x)$ в двух или более точках, например, в $(c, y_1)$ и $(c, y_2)$ где $y_1 \neq y_2$, то это означало бы, что одному значению аргумента $x = c$ соответствуют два разных значения функции, что противоречит самому определению функции. Этот факт известен как "тест вертикальной линии": геометрическая фигура на координатной плоскости является графиком функции тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке.

Ответ: верно.

1.44. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, \text{ если } x \le 0, \\ x^2 - 2x, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Для построения графика заданной кусочной функции $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \le 0, \\ x^2 - 2x, & \text{если } x > 0. \end{cases}$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. На промежутке $x \le 0$ функция имеет вид $y = x^2 + 2x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Поскольку $-1 \le 0$, вершина принадлежит этому участку графика.
$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$. Оба корня принадлежат промежутку $x \le 0$.

2. На промежутке $x > 0$ функция имеет вид $y = x^2 - 2x$. Графиком также является парабола с ветвями вверх.
Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Поскольку $1 > 0$, вершина принадлежит этому участку графика.
$y_0 = f(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Промежутку $x > 0$ принадлежит только корень $x_2 = 2$.

Объединив эти две части, мы получаем итоговый график. Он состоит из части параболы $y = x^2 + 2x$ для $x \le 0$ и части параболы $y = x^2 - 2x$ для $x > 0$.

Пользуясь построенным графиком, проанализируем функцию.

нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Это абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. Из проведенного анализа следует, что график пересекает ось абсцисс в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$.

Ответ: $-2; 0; 2$.

её промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график расположен выше оси Ox. Это происходит на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график расположен ниже оси Ox. Это происходит на интервалах $(-2; 0)$ и $(0; 2)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-2; 0) \cup (0; 2)$.

промежутки возрастания

Функция возрастает на тех промежутках, где большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Графически это участки, на которых кривая «поднимается» слева направо.
Это происходит на промежутках от вершины первой параболы $(-1, -1)$ до точки $(0, 0)$ и от вершины второй параболы $(1, -1)$ до $+\infty$.

Ответ: $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.

промежутки убывания

Функция убывает на тех промежутках, где большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Графически это участки, на которых кривая «опускается» слева направо.
Это происходит на промежутках от $-\infty$ до вершины первой параболы $(-1, -1)$ и от точки $(0, 0)$ до вершины второй параболы $(1, -1)$.

Ответ: $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.

1.45. При каком наименьшем целом значении $m$ функция $y = 7mx + 6 - 20x$ является возрастающей?

Заданная функция $y = 7mx + 6 - 20x$ является линейной. Чтобы определить, при каких условиях она будет возрастающей, приведем ее к стандартному виду $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$y = (7m - 20)x + 6$

Из этого выражения видно, что угловой коэффициент $k$ равен $7m - 20$.

Линейная функция является возрастающей на всей числовой оси тогда и только тогда, когда ее угловой коэффициент положителен, то есть $k > 0$.

Применим это условие к нашей функции:

$7m - 20 > 0$

Теперь решим это неравенство относительно $m$:

$7m > 20$

$m > \frac{20}{7}$

Чтобы найти наименьшее целое значение $m$, удовлетворяющее этому неравенству, представим дробь $\frac{20}{7}$ в виде смешанного числа:

$\frac{20}{7} = 2 \frac{6}{7}$

Таким образом, мы ищем наименьшее целое число $m$, которое больше $2 \frac{6}{7}$. Первое такое целое число — это 3.

Ответ: 3

1.46. При каких значениях $b$ функция $y = 3x^2 - bx + 1$ возрастает на множестве $[3; +\infty)$?

Данная функция $y = 3x^2 - bx + 1$ является квадратичной, ее график — парабола.

Старший коэффициент $a=3$ является положительным, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Парабола с ветвями вверх убывает до своей вершины и возрастает после нее. Интервал возрастания такой функции имеет вид $[x_в; +\infty)$, где $x_в$ — это абсцисса вершины параболы.

Абсциссу вершины параболы вида $y = ax^2 + px + q$ можно найти по формуле $x_в = -\frac{p}{2a}$.

Для нашей функции $y = 3x^2 - bx + 1$ коэффициенты равны $a=3$ и $p=-b$. Найдем абсциссу вершины:

$x_в = -\frac{-b}{2 \cdot 3} = \frac{b}{6}$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[\frac{b}{6}; +\infty)$.

Согласно условию задачи, функция должна возрастать на множестве $[3; +\infty)$. Это означает, что интервал возрастания функции $[\frac{b}{6}; +\infty)$ должен включать в себя интервал $[3; +\infty)$.

Для того чтобы промежуток $[\frac{b}{6}; +\infty)$ содержал промежуток $[3; +\infty)$, необходимо, чтобы левая граница первого промежутка была меньше или равна левой границе второго. Запишем это в виде неравенства:

$x_в \le 3$

Подставим найденное выражение для $x_в$:

$\frac{b}{6} \le 3$

Для решения неравенства умножим обе его части на 6:

$b \le 18$

Это означает, что при всех значениях $b$, меньших или равных 18, функция будет возрастать на множестве $[3; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; 18]$.

1.47. График какой функции получим, если график функции $y = x^2$ параллельно перенесём:

1) на 5 единиц вверх;

2) на 8 единиц вправо;

3) на 10 единиц вниз;

4) на 6 единиц влево.

Для решения этой задачи используются правила параллельного переноса (сдвига) графика функции $y = f(x)$:

• Сдвиг графика на $b$ единиц вверх по оси OY: к функции прибавляется число $b$. Новая функция: $y = f(x) + b$.
• Сдвиг графика на $b$ единиц вниз по оси OY: из функции вычитается число $b$. Новая функция: $y = f(x) - b$.
• Сдвиг графика на $a$ единиц вправо по оси OX: из аргумента $x$ вычитается число $a$. Новая функция: $y = f(x - a)$.
• Сдвиг графика на $a$ единиц влево по оси OX: к аргументу $x$ прибавляется число $a$. Новая функция: $y = f(x + a)$.

Исходная функция — это парабола $y = x^2$. Применим к ней указанные преобразования.

1) на 5 единиц вверх

Для сдвига графика функции $y = x^2$ на 5 единиц вверх необходимо прибавить к функции число 5. Согласно правилу $y = f(x) + b$, где $b = 5$, получаем:

$y = x^2 + 5$

Ответ: $y = x^2 + 5$.

2) на 8 единиц вправо

Для сдвига графика функции $y = x^2$ на 8 единиц вправо необходимо из аргумента функции вычесть число 8. Согласно правилу $y = f(x - a)$, где $a = 8$, получаем:

$y = (x - 8)^2$

Ответ: $y = (x - 8)^2$.

3) на 10 единиц вниз

Для сдвига графика функции $y = x^2$ на 10 единиц вниз необходимо вычесть из функции число 10. Согласно правилу $y = f(x) - b$, где $b = 10$, получаем:

$y = x^2 - 10$

Ответ: $y = x^2 - 10$.

4) на 6 единиц влево

Для сдвига графика функции $y = x^2$ на 6 единиц влево необходимо к аргументу функции прибавить число 6. Согласно правилу $y = f(x + a)$, где $a = 6$, получаем:

$y = (x + 6)^2$

Ответ: $y = (x + 6)^2$.

1.48. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 2$;

2) $y = (x + 3)^2$;

3) $y = (x - 3)^2 + 1$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. График симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Для точного построения составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим параболу $y = x^2$. Этот график будет служить основой для построения графиков заданных функций с помощью геометрических преобразований.

1)

График функции $y = x^2 - 2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Такое преобразование описывается формулой $y = f(x) + c$, где в нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -2$.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перемещается в точку $(x, y - 2)$. Таким образом, вершина параболы из точки $(0, 0)$ смещается в точку $(0, 0 - 2)$, то есть в $(0, -2)$. Форма параболы при этом не изменяется.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Вершина новой параболы находится в точке $(0, -2)$.

2)

График функции $y = (x + 3)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$. Такое преобразование описывается формулой $y = f(x + a)$, где $f(x) = x^2$ и $a = 3$.

Если $a > 0$, сдвиг происходит на $a$ единиц влево. Следовательно, мы сдвигаем график $y = x^2$ на 3 единицы влево.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перемещается в точку $(x - 3, y)$. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ смещается в точку $(0 - 3, 0)$, то есть в $(-3, 0)$. Осью симметрии новой параболы будет прямая $x = -3$.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина новой параболы находится в точке $(-3, 0)$.

3)

График функции $y = (x - 3)^2 + 1$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью двух последовательных параллельных переносов: по горизонтали и по вертикали. Это преобразование вида $y = f(x - b) + c$, где $b = 3$ и $c = 1$.

Сначала выполним сдвиг по горизонтали. Выражение $(x - 3)$ соответствует сдвигу графика $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Затем выполним сдвиг по вертикали. Прибавление константы $1$ соответствует сдвигу полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Таким образом, мы сдвигаем параболу $y = x^2$ на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Вершина параболы, которая была в точке $(0, 0)$, смещается в точку $(0 + 3, 0 + 1)$, то есть в $(3, 1)$.

Ответ: График функции $y = (x - 3)^2 + 1$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Вершина новой параболы находится в точке $(3, 1)$.

1.49. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x - 3}$;

2) $y = \sqrt{x - 3}$;

3) $y = \sqrt{x - 2} + 1$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Эта функция определена для всех неотрицательных значений $x$, то есть ее область определения $D(y): x \in [0; +\infty)$. Область значений $E(y): y \in [0; +\infty)$.

Найдем несколько ключевых точек для построения графика, выбирая значения $x$, из которых легко извлечь квадратный корень:

• Если $x=0$, то $y = \sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• Если $x=1$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка (1; 1).
• Если $x=4$, то $y = \sqrt{4} = 2$. Точка (4; 2).
• Если $x=9$, то $y = \sqrt{9} = 3$. Точка (9; 3).

График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и плавно поднимается вправо. Все остальные графики будут получены путем преобразования этого базового графика.

1) $y = \sqrt{x} - 3$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x} - 3$, нужно использовать график функции $y = \sqrt{x}$ и выполнить преобразование вида $y = f(x) - c$. В данном случае $c=3$. Это означает, что весь график функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть параллельно оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x, y-3)$.

Ключевые точки нового графика:

• (0; 0) $\rightarrow$ (0; 0-3) = (0; -3)
• (1; 1) $\rightarrow$ (1; 1-3) = (1; -2)
• (4; 2) $\rightarrow$ (4; 2-3) = (4; -1)
• (9; 3) $\rightarrow$ (9; 3-3) = (9; 0)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вниз.

2) $y = \sqrt{x - 3}$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x - 3}$, нужно использовать график функции $y = \sqrt{x}$ и выполнить преобразование вида $y = f(x-b)$. В данном случае $b=3$. Это означает, что весь график функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть параллельно оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо.

Область определения функции: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Это подтверждает сдвиг вправо.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x+3, y)$.

Ключевые точки нового графика:

• (0; 0) $\rightarrow$ (0+3; 0) = (3; 0)
• (1; 1) $\rightarrow$ (1+3; 1) = (4; 1)
• (4; 2) $\rightarrow$ (4+3; 2) = (7; 2)
• (9; 3) $\rightarrow$ (9+3; 3) = (12; 3)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вправо.

3) $y = \sqrt{x - 2} + 1$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-2} + 1$, нужно выполнить два последовательных преобразования графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (преобразование $y = \sqrt{x-2}$).
2. Сдвиг на 1 единицу вверх вдоль оси Oy (преобразование $y = \sqrt{x-2} + 1$).

Это комбинированное преобразование вида $y = f(x-b)+c$, где $b=2$ и $c=1$. Начало графика, точка (0;0), смещается в точку (2;1).

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x+2, y+1)$.

Ключевые точки нового графика:

• (0; 0) $\rightarrow$ (0+2; 0+1) = (2; 1)
• (1; 1) $\rightarrow$ (1+2; 1+1) = (3; 2)
• (4; 2) $\rightarrow$ (4+2; 2+1) = (6; 3)
• (9; 3) $\rightarrow$ (9+2; 3+1) = (11; 4)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2} + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

1.50. Постройте график функции:

1) $y = 0.5\sqrt{x}$;

2) $y = -2\sqrt{x-2}$.

1) Построение графика функции $y = 0,5\sqrt{x}$.

Это функция вида $y = k\sqrt{x}$, где $k=0,5$. График такой функции является ветвью параболы.

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ и коэффициент $0,5 > 0$, то $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = 0,5\sqrt{x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия по оси ординат (OY) в 2 раза (или с коэффициентом 0,5). Для построения найдем несколько ключевых точек, подставляя удобные значения $x$ (такие, из которых легко извлекается квадратный корень).

Составим таблицу значений:

• при $x=0$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{1} = 0,5$. Точка (1; 0,5).
• при $x=4$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{4} = 0,5 \cdot 2 = 1$. Точка (4; 1).
• при $x=9$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{9} = 0,5 \cdot 3 = 1,5$. Точка (9; 1,5).

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График начинается в начале координат и расположен в I координатной четверти.

Ответ: График функции $y = 0,5\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (0; 0) и проходящая через точки (1; 0,5), (4; 1), (9; 1,5).

2) Построение графика функции $y = -2\sqrt{x-2}$.

Это функция вида $y = k\sqrt{x-a} + b$, где $k=-2$, $a=2$, $b=0$. Её график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью преобразований.

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Область определения $D(y) = [2; +\infty)$.

2. Область значений: поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $2\sqrt{x-2} \ge 0$. Умножение на -1 меняет знак неравенства, следовательно $-2\sqrt{x-2} \le 0$, то есть $y \le 0$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Построение графика. Выполним последовательные преобразования графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (OX). Получаем график функции $y = \sqrt{x-2}$. Начальная точка смещается из (0;0) в (2;0).
2. Растяжение графика $y = \sqrt{x-2}$ от оси OX в 2 раза (вдоль оси OY). Получаем $y = 2\sqrt{x-2}$.
3. Симметричное отражение графика $y = 2\sqrt{x-2}$ относительно оси абсцисс (OX). Получаем искомый график $y = -2\sqrt{x-2}$.

Составим таблицу значений для построения:

• при $x=2$, $y = -2\sqrt{2-2} = -2 \cdot 0 = 0$. Точка (2; 0).
• при $x=3$, $y = -2\sqrt{3-2} = -2 \cdot 1 = -2$. Точка (3; -2).
• при $x=6$, $y = -2\sqrt{6-2} = -2\sqrt{4} = -2 \cdot 2 = -4$. Точка (6; -4).
• при $x=11$, $y = -2\sqrt{11-2} = -2\sqrt{9} = -2 \cdot 3 = -6$. Точка (11; -6).

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График начинается в точке (2; 0) и расположен в IV координатной четверти.

Ответ: График функции $y = -2\sqrt{x-2}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (2; 0) и проходящая через точки (3; -2), (6; -4), (11; -6), направленная вниз.

1.51. Решите графически уравнение:

1) $2\sqrt{x} = 3-x$;

2) $\frac{2}{x-2} = x-3.$

1)

Чтобы решить уравнение $2\sqrt{x} = 3 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2\sqrt{x}$ и $y = 3 - x$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = 2\sqrt{x}$.
Это график функции квадратного корня, растянутый в 2 раза по оси $y$. Область определения функции: $x \ge 0$.
Найдем несколько точек для построения:

• при $x=0$, $y = 2\sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y = 2\sqrt{1} = 2$. Точка (1; 2).
• при $x=4$, $y = 2\sqrt{4} = 4$. Точка (4; 4).

2. Построим график функции $y = 3 - x$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y = 3 - 0 = 3$. Точка (0; 3).
• при $x=3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3; 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в одной точке, координаты которой (1; 2). Абсцисса этой точки равна 1.

Проверим подстановкой: $2\sqrt{1} = 3 - 1 \Rightarrow 2 = 2$. Верно.

Ответ: $x=1$.

2)

Чтобы решить уравнение $\frac{2}{x-2} = x-3$ графически, построим в одной системе координат графики функций: $y = \frac{2}{x-2}$ и $y = x - 3$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. Построим график функции $y = \frac{2}{x-2}$.
Это гипербола, полученная из графика $y = \frac{2}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо.
Вертикальная асимптота: $x=2$.
Горизонтальная асимптота: $y=0$.
Найдем несколько точек для построения:

• при $x=0$, $y = \frac{2}{0-2} = -1$. Точка (0; -1).
• при $x=1$, $y = \frac{2}{1-2} = -2$. Точка (1; -2).
• при $x=3$, $y = \frac{2}{3-2} = 2$. Точка (3; 2).
• при $x=4$, $y = \frac{2}{4-2} = 1$. Точка (4; 1).

2. Построим график функции $y = x - 3$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка (0; -3).
• при $x=3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка (3; 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Из графика видно, что координаты этих точек (1; -2) и (4; 1). Абсциссы этих точек равны 1 и 4.

Проверим подстановкой:
Для $x=1$: $\frac{2}{1-2} = 1-3 \Rightarrow -2 = -2$. Верно.
Для $x=4$: $\frac{2}{4-2} = 4-3 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.