Страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве?

Рассмотрим функцию $y=f(x)$ и некоторое множество $X$, которое является подмножеством области определения этой функции.

Число $M$ называют наибольшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ из множества $X$ (то есть $x_0 \in X$), в которой значение функции равно $M$. Формально: $f(x_0) = M$.
2. Для любой точки $x$ из множества $X$ (то есть для всех $x \in X$) значение функции не превышает $M$. Формально: $f(x) \le M$.

Проще говоря, это самое большое значение, которое функция может принимать для аргументов из заданного множества. Обозначается как $\max_{x \in X} f(x)$.

Ответ: Наибольшим значением функции на множестве называют такое число $M$, для которого существует точка $x_0$ в этом множестве, где $f(x_0) = M$, и для всех остальных точек $x$ из этого множества выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Число $m$ называют наименьшим значением функции $f(x)$ на множестве $X$, если выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0$ из множества $X$ (то есть $x_0 \in X$), в которой значение функции равно $m$. Формально: $f(x_0) = m$.
2. Для любой точки $x$ из множества $X$ (то есть для всех $x \in X$) значение функции не меньше, чем $m$. Формально: $f(x) \ge m$.

Проще говоря, это самое маленькое значение, которое функция может принимать для аргументов из заданного множества. Обозначается как $\min_{x \in X} f(x)$.

Ответ: Наименьшим значением функции на множестве называют такое число $m$, для которого существует точка $x_0$ в этом множестве, где $f(x_0) = m$, и для всех остальных точек $x$ из этого множества выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

2. Как обозначают наибольшее (наименьшее) значение функции $f$ на множестве $M$?

Для обозначения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном множестве в математике приняты стандартные обозначения, основанные на операторах максимума и минимума.

Наибольшее значение функции $f$ на множестве $M$ (также называемое максимумом функции на множестве) — это такое число $A$, которое удовлетворяет двум условиям:
1. Для любого элемента $x$ из множества $M$ выполняется неравенство $f(x) \le A$.
2. Существует такой элемент $x_0$ в множестве $M$, что $f(x_0) = A$.
Второе условие означает, что это значение не просто является верхней границей, а фактически достигается функцией на данном множестве.

Для обозначения наибольшего значения используется оператор $\max$ (от лат. maximum — «наибольшее»): $$ \max_{x \in M} f(x) \quad \text{или, в более краткой форме,} \quad \max_M f $$ Индекс под оператором ($x \in M$ или просто $M$) указывает на множество, в пределах которого ищется максимум.

Ответ: Наибольшее значение функции $f$ на множестве $M$ обозначают как $\max_{x \in M} f(x)$ или $\max_M f$.

Аналогично, наименьшее значение функции $f$ на множестве $M$ (также называемое минимумом функции на множестве) — это такое число $B$, которое удовлетворяет двум условиям:
1. Для любого элемента $x$ из множества $M$ выполняется неравенство $f(x) \ge B$.
2. Существует такой элемент $x_0$ в множестве $M$, что $f(x_0) = B$.
Это означает, что функция достигает своего минимального значения на данном множестве.

Для обозначения наименьшего значения используется оператор $\min$ (от лат. minimum — «наименьшее»): $$ \min_{x \in M} f(x) \quad \text{или, в более краткой форме,} \quad \min_M f $$ Индекс под оператором, как и в случае с максимумом, указывает на множество, на котором ищется минимум.

Ответ: Наименьшее значение функции $f$ на множестве $M$ обозначают как $\min_{x \in M} f(x)$ или $\min_M f$.

3. Какую функцию называют чётной (нечётной)?

Чётная функция

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для неё одновременно выполняются два условия. Во-первых, её область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля, то есть для любого значения $x$ из области определения, значение $-x$ также должно принадлежать этой области определения. Во-вторых, для любого значения $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Геометрическое свойство чётной функции заключается в том, что её график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это значит, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, y_0)$ также ему принадлежит.

Простейшие примеры чётных функций: $y = x^2$, $y = \cos(x)$, $y = |x|$.

Ответ: Чётной называют функцию, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Нечётная функция

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для неё, как и для чётной, выполняются два условия. Во-первых, её область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля. Во-вторых, для любого значения $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

Геометрическое свойство нечётной функции заключается в том, что её график симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$). Это значит, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, -y_0)$ также ему принадлежит.

Простейшие примеры нечётных функций: $y = x^3$, $y = \sin(x)$, $y = \frac{1}{x}$.

Стоит отметить, что функция, не являющаяся чётной, не обязательно является нечётной. Большинство функций не обладают свойством чётности или нечётности. Такие функции называют функциями общего вида (например, $y=x+1$).

Ответ: Нечётной называют функцию, у которой область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

4. Каким свойством обладает график чётной (нечётной) функции?

Чётная функция

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже ей принадлежит).
2. Выполняется равенство: $f(-x) = f(x)$.

Геометрический смысл этого равенства заключается в том, что для каждой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, на графике также будет находиться точка $(-x_0, y_0)$. Эти две точки симметричны друг другу относительно оси ординат (оси OY). Следовательно, весь график чётной функции обладает симметрией относительно оси OY.

Примеры чётных функций: $y = x^2$, $y = |x|$, $y = \cos(x)$. Их графики симметричны относительно оси OY.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Нечётная функция

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля.
2. Выполняется равенство: $f(-x) = -f(x)$.

Геометрический смысл этого равенства заключается в том, что для каждой точки $(x_0, y_0)$, принадлежащей графику, на графике также будет находиться точка $(-x_0, -y_0)$. Эти две точки симметричны друг другу относительно начала координат (точки (0, 0)). Следовательно, весь график нечётной функции обладает симметрией относительно начала координат.

Примеры нечётных функций: $y = x^3$, $y = \frac{1}{x}$, $y = \sin(x)$. Их графики симметричны относительно начала координат.

Ответ: График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

1.1. На рисунке 1.10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[1; 2]$;

2) $[-2,5; 1]$;

3) $[-2,5; 3,5]$.

Рис. 1.10

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке, нужно рассмотреть часть графика, соответствующую этому промежутку по оси $x$, и найти на ней самую высокую и самую низкую точки. Их ординаты (значения по оси $y$) и будут искомыми значениями.

1) [1; 2]

Рассмотрим график функции на промежутке $x \in [1; 2]$. На этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, своё наибольшее значение она принимает в левой крайней точке, а наименьшее — в правой.

Из графика находим:

• Наибольшее значение при $x=1$: $y_{наиб} = f(1) = 1$.
• Наименьшее значение при $x=2$: $y_{наим} = f(2) = -1$.

Ответ: наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -1.

2) [-2,5; 1]

Рассмотрим график функции на промежутке $x \in [-2,5; 1]$. На этом отрезке находятся точки локального максимума и минимума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно сравнить значения функции в этих точках, а также на концах промежутка.

Из графика находим:

• Значение на левом конце: $f(-2,5) \approx 2,5$.
• Значение в точке локального максимума: $f(-2) = 3$.
• Значение в точке локального минимума: $f(-1) = 0$.
• Значение на правом конце: $f(1) = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{2,5; 3; 0; 1\}$, видим, что самое большое из них равно 3, а самое маленькое — 0.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = 0$.

Ответ: наибольшее значение: 3, наименьшее значение: 0.

3) [-2,5; 3,5]

Рассмотрим график функции на промежутке $x \in [-2,5; 3,5]$. Как и в предыдущем пункте, найдем значения функции в точках локальных экстремумов и на концах отрезка.

Из графика находим:

• Значение на левом конце: $f(-2,5) \approx 2,5$.
• Значение в точке локального максимума: $f(-2) = 3$.
• Значение в точке локального минимума: $f(-1) = 0$.
• Значение в точке локального максимума: $f(0) = 2$.
• Значение на правом конце: $f(3,5) = -2$.

Сравнивая полученные значения $\{2,5; 3; 0; 2; -2\}$, выбираем из них самое большое и самое маленькое.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 3$ (достигается при $x=-2$).

Наименьшее значение: $y_{наим} = -2$ (достигается при $x=3,5$).

Ответ: наибольшее значение: 3, наименьшее значение: -2.