Номер 1.1, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.1. На рисунке 1.10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4; 5]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[1; 2]$;

2) $[-2,5; 1]$;

3) $[-2,5; 3,5]$.

Рис. 1.10

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке, нужно рассмотреть часть графика, соответствующую этому промежутку по оси $x$, и найти на ней самую высокую и самую низкую точки. Их ординаты (значения по оси $y$) и будут искомыми значениями.

1) [1; 2]

Рассмотрим график функции на промежутке $x \in [1; 2]$. На этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, своё наибольшее значение она принимает в левой крайней точке, а наименьшее — в правой.

Из графика находим:

• Наибольшее значение при $x=1$: $y_{наиб} = f(1) = 1$.
• Наименьшее значение при $x=2$: $y_{наим} = f(2) = -1$.

Ответ: наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -1.

2) [-2,5; 1]

Рассмотрим график функции на промежутке $x \in [-2,5; 1]$. На этом отрезке находятся точки локального максимума и минимума. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно сравнить значения функции в этих точках, а также на концах промежутка.

Из графика находим:

• Значение на левом конце: $f(-2,5) \approx 2,5$.
• Значение в точке локального максимума: $f(-2) = 3$.
• Значение в точке локального минимума: $f(-1) = 0$.
• Значение на правом конце: $f(1) = 1$.

Сравнивая полученные значения $\{2,5; 3; 0; 1\}$, видим, что самое большое из них равно 3, а самое маленькое — 0.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = 0$.

Ответ: наибольшее значение: 3, наименьшее значение: 0.

3) [-2,5; 3,5]

Рассмотрим график функции на промежутке $x \in [-2,5; 3,5]$. Как и в предыдущем пункте, найдем значения функции в точках локальных экстремумов и на концах отрезка.

Из графика находим:

• Значение на левом конце: $f(-2,5) \approx 2,5$.
• Значение в точке локального максимума: $f(-2) = 3$.
• Значение в точке локального минимума: $f(-1) = 0$.
• Значение в точке локального максимума: $f(0) = 2$.
• Значение на правом конце: $f(3,5) = -2$.

Сравнивая полученные значения $\{2,5; 3; 0; 2; -2\}$, выбираем из них самое большое и самое маленькое.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = 3$ (достигается при $x=-2$).

Наименьшее значение: $y_{наим} = -2$ (достигается при $x=3,5$).

Ответ: наибольшее значение: 3, наименьшее значение: -2.