Номер 1.8, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.8. На промежутке $[2; 5]$ найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = -\frac{10}{x};$

2) $f(x) = \frac{20}{x}.$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом промежутке (отрезке), необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует) и отобрать те, которые принадлежат данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{10}{x}$ на промежутке $[2; 5]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(-\frac{10}{x}\right)' = (-10x^{-1})' = -10 \cdot (-1)x^{-1-1} = 10x^{-2} = \frac{10}{x^2}$.

2. Производная $f'(x) = \frac{10}{x^2}$ никогда не равна нулю. Она не существует в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит промежутку $[2; 5]$. Следовательно, на данном промежутке у функции нет критических точек.

Поскольку $f'(x) = \frac{10}{x^2} > 0$ для любого $x$ из промежутка $[2; 5]$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом промежутке.

3. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $[2; 5]$:

• Значение на левом конце: $f(2) = -\frac{10}{2} = -5$.
• Значение на правом конце: $f(5) = -\frac{10}{5} = -2$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно -5, а наибольшее равно -2.

Ответ: $f_{наим} = -5$, $f_{наиб} = -2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{20}{x}$ на промежутке $[2; 5]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{20}{x}\right)' = (20x^{-1})' = 20 \cdot (-1)x^{-1-1} = -20x^{-2} = -\frac{20}{x^2}$.

2. Производная $f'(x) = -\frac{20}{x^2}$ никогда не равна нулю. Она не существует в точке $x=0$, которая не принадлежит промежутку $[2; 5]$. Следовательно, и у этой функции на данном промежутке нет критических точек.

Поскольку $f'(x) = -\frac{20}{x^2} < 0$ для любого $x$ из промежутка $[2; 5]$, функция $f(x)$ является строго убывающей на этом промежутке.

3. Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце промежутка, а наименьшее — на правом.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $[2; 5]$:

• Значение на левом конце: $f(2) = \frac{20}{2} = 10$.
• Значение на правом конце: $f(5) = \frac{20}{5} = 4$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке равно 10, а наименьшее равно 4.

Ответ: $f_{наим} = 4$, $f_{наиб} = 10$.