Номер 1.11, страница 11 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.11. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = -5x^4;$

2) $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-4};$

3) $f(x) = \sqrt{4-x} + \sqrt{4+x};$

4) $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}}.$

Для доказательства того, что функция является чётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $f(x) = -5x^4$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = -5(-x)^4 = -5x^4 = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

Функция $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$.

Область определения функции находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

Функция $f(x) = \sqrt{4-x} + \sqrt{4+x}$.

Область определения функции находится из системы неравенств: $\begin{cases} 4-x \ge 0 \\ 4+x \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-4, 4]$. Этот отрезок симметричен относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{4-(-x)} + \sqrt{4+(-x)} = \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} = \sqrt{4-x} + \sqrt{4+x} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.

Функция $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}}$.

Область определения функции $D(f)$ находится из условий: $\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ \sqrt{1-x} - \sqrt{x+1} \neq 0 \end{cases}$. Решая систему, получаем: $\begin{cases} x \le 1 \\ x \ge -1 \\ 1-x \neq x+1 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ 2x \neq 0 \end{cases}$, то есть $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Проверим второе условие. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1-(-x)} - \sqrt{(-x)+1}} = \frac{-x^3}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}$.

Теперь преобразуем полученное выражение, умножив числитель и знаменатель на -1:

$f(-x) = \frac{-x^3 \cdot (-1)}{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}) \cdot (-1)} = \frac{x^3}{-\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}} = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}} = f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция является чётной.