Номер 1.18, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.18. На рисунке 1.13 изображена часть графика функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-5; 5]$. Достройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 1.13

а

б

Для решения этой задачи необходимо использовать определения чётной и нечётной функций, а также свойства симметрии их графиков.

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

График а

На рисунке 'а' изображена часть графика функции на промежутке $[-5, 0]$. Необходимо достроить график на промежутке $(0, 5]$.

1) чётной;

Если функция чётная, её график симметричен относительно оси OY. Чтобы достроить график, нужно отразить имеющуюся часть относительно этой оси. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдёт в точку $(-x, y)$.

Ключевые точки:

• Точка $(-5, -2)$ перейдёт в точку $(5, -2)$.
• Точка $(0, 0)$ находится на оси симметрии и останется на месте.

Достроенная часть будет кривой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, -2)$, и будет зеркальным отражением исходной части.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[0, 5]$ является кривой, симметричной данной относительно оси OY, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, -2)$.

2) нечётной.

Если функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Чтобы достроить график, нужно отразить имеющуюся часть относительно точки $(0, 0)$. Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перейдёт в точку $(-x, -y)$.

Ключевые точки:

• Точка $(-5, -2)$ перейдёт в точку $(-(-5), -(-2)) = (5, 2)$.
• Точка $(0, 0)$ является центром симметрии и останется на месте.

Достроенная часть будет кривой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, 2)$.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[0, 5]$ является кривой, симметричной данной относительно начала координат, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5, 2)$.

График б

На рисунке 'б' изображена часть графика функции на промежутке $[0, 5]$. Необходимо достроить график на промежутке $[-5, 0)$. Из графика видно, что $f(0) = 0$ (закрашенная точка), а $\lim_{x \to 0+} f(x) = 2$ (выколотая точка в $(0, 2)$). График на $(0, 5]$ состоит из двух отрезков: от $(0, 2)$ до $(2, 0)$ и от $(2, 0)$ до $(5, 3)$.

1) чётной;

Для чётной функции, график симметричен относительно оси OY. Отражаем данную часть графика.

• Точка $f(0)=0$ остаётся на месте.
• Отрезок, соединяющий $(2, 0)$ и $(5, 3)$, отразится в отрезок, соединяющий $(-2, 0)$ и $(-5, 3)$.
• Отрезок от выколотой точки $(0, 2)$ до $(2, 0)$ отразится в отрезок от выколотой точки $(0, 2)$ до $(-2, 0)$.
• Так как $f(-x) = f(x)$, то $\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0+} f(x) = 2$. Это значит, что с левой стороны график также будет стремиться к выколотой точке $(0, 2)$.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[-5, 0)$ состоит из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, 3)$ и $(-2, 0)$, а другой — точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Точка $(0, 2)$ выколота. Значение функции в точке $x=0$ остаётся равным $0$.

2) нечётной.

Для нечётной функции, график симметричен относительно начала координат. Отражаем данную часть графика.

• Точка $(0, 0)$ является центром симметрии и остаётся на месте ($f(0)=0$, и $f(-0) = -f(0)$ выполняется).
• Отрезок, соединяющий $(2, 0)$ и $(5, 3)$, отразится в отрезок, соединяющий $(-2, 0)$ и $(-5, -3)$.
• Для предела в нуле используем свойство нечётности: $\lim_{x \to 0-} f(x) = -\lim_{x \to 0+} f(x) = -2$. Это означает, что слева график будет стремиться к выколотой точке $(0, -2)$.
• Следовательно, отрезок от выколотой точки $(0, 2)$ до $(2, 0)$ отразится в отрезок от выколотой точки $(0, -2)$ до $(-2, 0)$.

Ответ: Достроенная часть графика на промежутке $[-5, 0)$ состоит из двух отрезков: один соединяет точки $(-5, -3)$ и $(-2, 0)$, а другой — точки $(-2, 0)$ и $(0, -2)$. Точка $(0, -2)$ выколота. Значение функции в точке $x=0$ остаётся равным $0$.