Номер 1.21, страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Используем это свойство, чтобы найти вид функции для $x < 0$, зная её вид для $x \ge 0$.

• Пусть $-2 \le x < 0$. Тогда $0 < -x \le 2$. Для таких значений аргумента функция задана как $f(-x) = -0,5(-x)^2 = -0,5x^2$. Поскольку функция чётная, $f(x) = f(-x)$, следовательно, $f(x) = -0,5x^2$ на промежутке $[-2, 0)$.
• Пусть $x < -2$. Тогда $-x > 2$. Для таких значений аргумента функция задана как $f(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x}$. Поскольку функция чётная, $f(x) = f(-x)$, следовательно, $f(x) = \frac{4}{x}$ при $x < -2$.

Объединяя все части, получаем полное определение функции:

$f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x < -2 \\ -0,5x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ -\frac{4}{x}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Для построения графика сначала строим его для $x \ge 0$. На отрезке $[0, 2]$ это часть параболы $y = -0,5x^2$, а при $x > 2$ — ветвь гиперболы $y = -\frac{4}{x}$. Затем отражаем построенную часть симметрично относительно оси OY, чтобы получить график для $x < 0$.

Ответ:

График функции состоит из трёх частей: ветви гиперболы $y = \frac{4}{x}$ при $x < -2$, участка параболы $y = -0,5x^2$ на отрезке $[-2, 2]$ и ветви гиперболы $y = -\frac{4}{x}$ при $x > 2$.

Нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Используем это свойство, чтобы найти вид функции для $x < 0$.

• Пусть $-2 \le x < 0$. Тогда $0 < -x \le 2$. Для таких значений аргумента $f(-x) = -0,5(-x)^2 = -0,5x^2$. Поскольку функция нечётная, $f(x) = -f(-x)$, следовательно, $f(x) = -(-0,5x^2) = 0,5x^2$.
• Пусть $x < -2$. Тогда $-x > 2$. Для таких значений аргумента $f(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x}$. Поскольку функция нечётная, $f(x) = -f(-x)$, следовательно, $f(x) = -\frac{4}{x}$.

Заметим, что $f(0)=-0,5 \cdot 0^2 = 0$, что является необходимым условием для нечётной функции ($f(0) = -f(0)$).

Объединяя все части, получаем полное определение функции:

$f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2 \\ 0,5x^2, & \text{если } -2 \le x < 0 \\ -0,5x^2, & \text{если } 0 \le x \le 2 \\ -\frac{4}{x}, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Для построения графика сначала строим его для $x \ge 0$. Затем отражаем построенную часть симметрично относительно начала координат (что эквивалентно повороту на 180°), чтобы получить график для $x < 0$.

Ответ:

График функции состоит из четырёх частей: ветви гиперболы $y = -\frac{4}{x}$ при $x < -2$, участка параболы $y = 0,5x^2$ на промежутке $[-2, 0)$, участка параболы $y = -0,5x^2$ на отрезке $[0, 2]$ и ветви гиперболы $y = -\frac{4}{x}$ при $x > 2$.