Номер 1.28, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.28. Область определения функции $f$ симметрична относительно начала координат. Докажите, что функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ чётная, а функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ нечётная.

Доказательство, что функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ чётная

По определению, функция $g(x)$ является чётной, если её область определения, $D(g)$, симметрична относительно начала координат, и для любого $x$ из $D(g)$ выполняется равенство $g(-x) = g(x)$.

1. Область определения. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения функции $f(x)$, так как $g(x)$ является суммой $f(x)$ и $f(-x)$. По условию, область определения $f(x)$ симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также принадлежит ей. Следовательно, область определения $D(g)$ также симметрична.

2. Проверка свойства чётности. Найдём значение функции $g(x)$ в точке $-x$:
$g(-x) = f(-x) + f(-(-x))$
Поскольку $f(-(-x)) = f(x)$, мы можем переписать выражение как:
$g(-x) = f(-x) + f(x)$
В силу переместительного закона сложения ($a + b = b + a$), мы получаем:
$g(-x) = f(x) + f(-x)$
Это выражение совпадает с определением функции $g(x)$. Таким образом, мы доказали, что $g(-x) = g(x)$.

Поскольку оба условия выполнены, функция $g(x)$ является чётной.

Ответ: Функция $g(x)$ является чётной, так как её область определения симметрична и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x) = g(x)$.

Доказательство, что функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ нечётная

По определению, функция $h(x)$ является нечётной, если её область определения, $D(h)$, симметрична относительно начала координат, и для любого $x$ из $D(h)$ выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

1. Область определения. Аналогично функции $g(x)$, область определения функции $h(x)$ совпадает с областью определения $f(x)$ и, следовательно, симметрична относительно начала координат.

2. Проверка свойства нечётности. Найдём значение функции $h(x)$ в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) - f(-(-x))$
Упрощая, получаем:
$h(-x) = f(-x) - f(x)$
Теперь вынесем знак «минус» за скобки:
$h(-x) = -( -f(-x) + f(x) )$
Поменяв слагаемые в скобках, получаем:
$h(-x) = -( f(x) - f(-x) )$
Выражение в скобках является исходной функцией $h(x)$. Таким образом, мы доказали, что $h(-x) = -h(x)$.

Поскольку оба условия выполнены, функция $h(x)$ является нечётной.

Ответ: Функция $h(x)$ является нечётной, так как её область определения симметрична и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $h(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x) = -(f(x) - f(-x)) = -h(x)$.