Страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.25. Участок земли прямоугольной формы огородили забором длиной 200 м. Какую наибольшую площадь может иметь этот участок?

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.

Длина забора — это периметр прямоугольника. Периметр $P$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

По условию задачи, длина забора равна 200 м, следовательно:

$2(a + b) = 200$

$a + b = 100$

Площадь $S$ прямоугольного участка вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Нам нужно найти максимальное значение площади $S$ при условии $a + b = 100$.

Выразим одну из сторон через другую из условия для периметра. Например, выразим $b$:

$b = 100 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади:

$S(a) = a \cdot (100 - a) = 100a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 100a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $a^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Координата вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ по оси абсцисс находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A = -1$, $B = 100$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{100}{2 \cdot (-1)} = -\frac{100}{-2} = 50$ м.

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 100 - a = 100 - 50 = 50$ м.

Таким образом, наибольшую площадь при заданном периметре будет иметь квадрат. В данном случае это квадрат со стороной 50 м.

Вычислим эту наибольшую площадь:

$S_{max} = 50 \cdot 50 = 2500$ м².

Ответ: 2500 м²

1.26. Нечётная функция $f$ такова, что $0 \in D(f)$. Найдите $f(0)$.

По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется два условия:

1. Если $x \in D(f)$, то $-x \in D(f)$ (область определения симметрична относительно нуля).
2. Для любого $x \in D(f)$ справедливо равенство $f(-x) = -f(x)$.

В условии задачи дано, что функция $f$ нечётная и точка $0$ принадлежит её области определения, то есть $0 \in D(f)$.

Воспользуемся вторым свойством из определения нечётной функции и подставим в него значение $x=0$, так как мы знаем, что функция в этой точке определена.

Получаем равенство:

$f(-0) = -f(0)$

Так как $-0$ это то же самое, что и $0$, мы можем переписать левую часть:

$f(0) = -f(0)$

Теперь у нас есть уравнение относительно искомого значения $f(0)$. Перенесём член $-f(0)$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$f(0) + f(0) = 0$

Сложим одинаковые члены в левой части:

$2 \cdot f(0) = 0$

Чтобы найти $f(0)$, разделим обе части уравнения на 2:

$f(0) = \frac{0}{2}$

$f(0) = 0$

Таким образом, значение любой нечётной функции в точке $x=0$, если она в этой точке определена, всегда равно нулю.

Ответ: $f(0) = 0$

1.27. Чётная функция $f$ имеет 7 нулей. Найдите $f(0)$.

По определению, чётная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Нуль функции — это значение аргумента $x_0$, при котором значение функции равно нулю, то есть $f(x_0) = 0$.

Рассмотрим нули данной чётной функции $f$.Пусть $x_0 \neq 0$ является нулём функции. Это означает, что $f(x_0) = 0$.Так как функция $f$ чётная, для этого нуля должно выполняться равенство $f(-x_0) = f(x_0)$.Следовательно, $f(-x_0) = 0$, что означает, что $-x_0$ также является нулём функции.

Таким образом, все ненулевые нули чётной функции существуют парами: если $x_0$ — нуль, то и $-x_0$ — нуль. Это означает, что количество ненулевых нулей у чётной функции всегда является чётным числом.

По условию задачи, функция имеет 7 нулей. Число 7 — нечётное.Если предположить, что $x=0$ не является нулём функции, то все 7 нулей были бы ненулевыми. Но количество ненулевых нулей должно быть чётным, что привело бы к противоречию.

Следовательно, нечётное общее количество нулей возможно только в том случае, если один из нулей не имеет пары. Единственное число, для которого $x = -x$, это $x=0$.Значит, $x=0$ обязательно является одним из семи нулей функции.

Остальные $7 - 1 = 6$ нулей являются ненулевыми и образуют 3 пары симметричных относительно нуля корней.

Поскольку $x=0$ — это нуль функции $f$, по определению нуля функции мы имеем $f(0)=0$.

Ответ: $0$

1.28. Область определения функции $f$ симметрична относительно начала координат. Докажите, что функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ чётная, а функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ нечётная.

Доказательство, что функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ чётная

По определению, функция $g(x)$ является чётной, если её область определения, $D(g)$, симметрична относительно начала координат, и для любого $x$ из $D(g)$ выполняется равенство $g(-x) = g(x)$.

1. Область определения. Область определения функции $g(x)$ совпадает с областью определения функции $f(x)$, так как $g(x)$ является суммой $f(x)$ и $f(-x)$. По условию, область определения $f(x)$ симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также принадлежит ей. Следовательно, область определения $D(g)$ также симметрична.

2. Проверка свойства чётности. Найдём значение функции $g(x)$ в точке $-x$:
$g(-x) = f(-x) + f(-(-x))$
Поскольку $f(-(-x)) = f(x)$, мы можем переписать выражение как:
$g(-x) = f(-x) + f(x)$
В силу переместительного закона сложения ($a + b = b + a$), мы получаем:
$g(-x) = f(x) + f(-x)$
Это выражение совпадает с определением функции $g(x)$. Таким образом, мы доказали, что $g(-x) = g(x)$.

Поскольку оба условия выполнены, функция $g(x)$ является чётной.

Ответ: Функция $g(x)$ является чётной, так как её область определения симметрична и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x) = g(x)$.

Доказательство, что функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ нечётная

По определению, функция $h(x)$ является нечётной, если её область определения, $D(h)$, симметрична относительно начала координат, и для любого $x$ из $D(h)$ выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

1. Область определения. Аналогично функции $g(x)$, область определения функции $h(x)$ совпадает с областью определения $f(x)$ и, следовательно, симметрична относительно начала координат.

2. Проверка свойства нечётности. Найдём значение функции $h(x)$ в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) - f(-(-x))$
Упрощая, получаем:
$h(-x) = f(-x) - f(x)$
Теперь вынесем знак «минус» за скобки:
$h(-x) = -( -f(-x) + f(x) )$
Поменяв слагаемые в скобках, получаем:
$h(-x) = -( f(x) - f(-x) )$
Выражение в скобках является исходной функцией $h(x)$. Таким образом, мы доказали, что $h(-x) = -h(x)$.

Поскольку оба условия выполнены, функция $h(x)$ является нечётной.

Ответ: Функция $h(x)$ является нечётной, так как её область определения симметрична и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $h(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x) = -(f(x) - f(-x)) = -h(x)$.

1.29. Областью определения чётных функций $f$ и $g$ является множество $M$.

Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = f(x) + g(x)$;

2) $y = f(x) - g(x)$;

3) $y = f(x) \cdot g(x)$.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля. То есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен ей принадлежать.
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $y(-x) = y(x)$ для чётной функции, или $y(-x) = -y(x)$ для нечётной функции.

По условию задачи, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются чётными, а их общая область определения — множество $M$. Это означает, что множество $M$ симметрично относительно нуля, и для любого $x \in M$ выполняются равенства: $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$.

1) y = f(x) + g(x);

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) + g(x)$. Её область определения — множество $M$, которое, по условию, симметрично. Проверим, выполняется ли условие чётности:

$h(-x) = f(-x) + g(-x)$

Так как $f(x)$ и $g(x)$ являются чётными функциями, то $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Следовательно:

$h(-x) = f(x) + g(x) = h(x)$

Поскольку $h(-x) = h(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

2) y = f(x) - g(x);

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) - g(x)$. Её область определения — симметричное множество $M$. Проверим условие чётности:

$h(-x) = f(-x) - g(-x)$

Используя свойство чётности для функций $f(x)$ и $g(x)$:

$h(-x) = f(x) - g(x) = h(x)$

Поскольку $h(-x) = h(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

3) y = f(x) · g(x).

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Её область определения — симметричное множество $M$. Проверим условие чётности:

$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$

Так как $f(x)$ и $g(x)$ — чётные функции:

$h(-x) = f(x) \cdot g(x) = h(x)$

Поскольку $h(-x) = h(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

1.30. Областью определения чётной функции f и нечётной функции g является множество M. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = f(x) + g(x)$;

2) $y = f(x) - g(x)$;

3) $y = f(x) \cdot g(x)$.

По условию, функция $f(x)$ является чётной, а функция $g(x)$ — нечётной. Обе функции определены на одном и том же множестве $M$, которое является симметричным относительно нуля.

Это означает, что для любого $x$ из области определения $M$ выполняются следующие равенства:

• Для чётной функции $f(x)$: $f(-x) = f(x)$
• Для нечётной функции $g(x)$: $g(-x) = -g(x)$

Чтобы исследовать функцию на чётность, необходимо найти её значение в точке $-x$ и сравнить его со значением в точке $x$.

1) $y = f(x) + g(x)$

Обозначим нашу функцию как $h(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$: $h(-x) = f(-x) + g(-x)$.

Используя свойства чётности функции $f$ и нечётности функции $g$, подставим их в выражение: $h(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) - g(x)$.

Теперь сравним полученный результат с $h(x)$ и $-h(x)$:

• $h(-x) = f(x) - g(x)$.
• $h(x) = f(x) + g(x)$.
• $-h(x) = -(f(x) + g(x)) = -f(x) - g(x)$.

В общем случае $h(-x) \neq h(x)$ и $h(-x) \neq -h(x)$. Равенство $h(-x) = h(x)$ выполнялось бы только при $g(x) = 0$, а равенство $h(-x) = -h(x)$ — только при $f(x) = 0$. Так как в общем случае функции $f(x)$ и $g(x)$ не равны нулю тождественно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

2) $y = f(x) - g(x)$

Обозначим нашу функцию как $h(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$: $h(-x) = f(-x) - g(-x)$.

Используя свойства чётности и нечётности, получаем: $h(-x) = f(x) - (-g(x)) = f(x) + g(x)$.

Сравним полученный результат с $h(x)$ и $-h(x)$:

• $h(-x) = f(x) + g(x)$.
• $h(x) = f(x) - g(x)$.
• $-h(x) = -(f(x) - g(x)) = -f(x) + g(x)$.

Как и в предыдущем пункте, в общем случае $h(-x) \neq h(x)$ и $h(-x) \neq -h(x)$. Следовательно, данная функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

3) $y = f(x) \cdot g(x)$

Обозначим нашу функцию как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение этой функции в точке $-x$: $h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$.

Подставим свойства исходных функций: $h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = - (f(x) \cdot g(x))$.

Мы получили, что $h(-x) = -h(x)$. По определению, это означает, что функция является нечётной.

Ответ: функция является нечётной.

1.31. Областью определения нечётных функций $f$ и $g$ является множество $M$. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y=f(x)+g(x)$;

2) $y=f(x)-g(x)$;

3) $y=f(x) \cdot g(x)$.

По условию, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются нечётными, а их общая область определения — множество $M$.
Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:
1. Симметричность области определения относительно нуля. Так как $f$ и $g$ нечётные, их область определения $M$ симметрична. Следовательно, область определения для каждой из исследуемых функций (сумма, разность, произведение) также будет $M$ и будет симметричной.
2. Выполнение равенства $y(-x) = y(x)$ (для чётной функции) или $y(-x) = -y(x)$ (для нечётной функции).
Поскольку $f$ и $g$ — нечётные, для любого $x \in M$ выполняются равенства: $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.

1) $y = f(x) + g(x)$

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) + g(x)$.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x)$
Используя свойство нечётности функций $f$ и $g$, заменяем $f(-x)$ на $-f(x)$ и $g(-x)$ на $-g(x)$:
$h(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -f(x) - g(x)$
Вынесем знак минус за скобки:
$h(-x) = -(f(x) + g(x))$
Так как $h(x) = f(x) + g(x)$, то мы получили, что $h(-x) = -h(x)$.
Следовательно, функция является нечётной (сумма двух нечётных функций есть нечётная функция).
Ответ: функция нечётная.

2) $y = f(x) - g(x)$

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) - g(x)$.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) - g(-x)$
Подставим выражения для нечётных функций:
$h(-x) = (-f(x)) - (-g(x)) = -f(x) + g(x)$
Вынесем знак минус за скобки:
$h(-x) = -(f(x) - g(x))$
Так как $h(x) = f(x) - g(x)$, то мы получили, что $h(-x) = -h(x)$.
Следовательно, функция является нечётной (разность двух нечётных функций есть нечётная функция).
Ответ: функция нечётная.

3) $y = f(x) \cdot g(x)$

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим выражения для нечётных функций:
$h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x))$
Произведение двух отрицательных величин даёт положительную:
$h(-x) = f(x) \cdot g(x)$
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, то мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция является чётной (произведение двух нечётных функций есть чётная функция).
Ответ: функция чётная.

1.32. Существует ли функция, определенная на множестве $\mathbb{R}$, которая одновременно является:

1) нечётной и возрастающей;

2) нечётной и убывающей;

3) чётной и возрастающей?

1) нечётной и возрастающей;

Да, такая функция существует.

Вспомним определения:

• Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения должна быть симметрична относительно нуля.
• Функция $f(x)$ называется возрастающей на множестве $\mathbb{R}$, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

В качестве примера можно привести функцию $f(x) = x^3$. Проверим, удовлетворяет ли она обоим условиям на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

1. Проверка на нечётность:
Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
Равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, функция является нечётной.

2. Проверка на возрастание:
Возьмём два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:
$f(x_2) - f(x_1) = x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$.
Поскольку $x_1 < x_2$, то множитель $(x_2 - x_1) > 0$.
Второй множитель $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$ представляет собой неполный квадрат суммы и всегда положителен при $x_1$ и $x_2$, не равных одновременно нулю. Его можно представить в виде $(x_1 + \frac{1}{2}x_2)^2 + \frac{3}{4}x_2^2 > 0$.
Таким образом, произведение двух положительных множителей положительно: $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$.
Это означает, что функция $f(x) = x^3$ является возрастающей на всём множестве $\mathbb{R}$.

Другим, более простым примером является функция $f(x) = x$.

Ответ: Да, существует. Например, $f(x) = x^3$.

2) нечётной и убывающей;

Да, такая функция существует.

Определение убывающей функции: функция $f(x)$ называется убывающей на множестве $\mathbb{R}$, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Примером такой функции служит $f(x) = -x^3$. Проверим её свойства.

1. Проверка на нечётность:
$f(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3$.
$-f(x) = -(-x^3) = x^3$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

2. Проверка на убывание:
Возьмём два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:
$f(x_2) - f(x_1) = (-x_2^3) - (-x_1^3) = x_1^3 - x_2^3 = -(x_2^3 - x_1^3)$.
Как мы установили в пункте 1, при $x_1 < x_2$ выражение $(x_2^3 - x_1^3) > 0$.
Следовательно, $-(x_2^3 - x_1^3) < 0$.
Получаем, что $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда $f(x_2) < f(x_1)$.
Это соответствует определению убывающей функции.

Другим примером является функция $f(x) = -x$.

Ответ: Да, существует. Например, $f(x) = -x^3$.

3) чётной и возрастающей?

Нет, такой функции, определённой на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$, не существует.

Вспомним определение чётной функции: функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Докажем это методом от противного. Предположим, что такая функция $f(x)$ существует. То есть, она является одновременно чётной и возрастающей на $\mathbb{R}$.

Возьмём два различных числа, симметричных относительно нуля, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Очевидно, что $x_1 < x_2$ (т.е. $-1 < 1$).

1. Так как по нашему предположению функция $f(x)$ является возрастающей, то из $x_1 < x_2$ должно следовать $f(x_1) < f(x_2)$.
Для наших точек это означает: $f(-1) < f(1)$.

2. Так как по нашему предположению функция $f(x)$ является чётной, то должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Для $x=1$ это означает: $f(-1) = f(1)$.

Мы получили два несовместных утверждения: $f(-1) < f(1)$ и $f(-1) = f(1)$. Это является противоречием.
Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такой функции неверно.

Ответ: Нет, не существует.

1.33. Чётная функция $f$, определённая на множестве $\mathbf{R}$, возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Определите, возрастает или убывает функция $f$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

По условию, функция $f$ является чётной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения функции — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Также известно, что функция $f$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. По определению это означает, что для любых двух точек $x_a$ и $x_b$ из этого промежутка, таких что $x_a < x_b$, выполняется неравенство $f(x_a) < f(x_b)$.

Нам необходимо определить, возрастает или убывает функция $f$ на промежутке $(-\infty; 0]$. Для этого выберем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка так, чтобы выполнялось неравенство $x_1 < x_2$. То есть, $x_1 < x_2 \le 0$.

Теперь рассмотрим соответствующие им противоположные числа: $-x_1$ и $-x_2$. Умножим неравенство $x_1 < x_2$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-x_1 > -x_2$

Так как $x_2 \le 0$, то $-x_2 \ge 0$. Следовательно, мы имеем, что $0 \le -x_2 < -x_1$.

Оба числа, $-x_2$ и $-x_1$, принадлежат промежутку $[0; +\infty)$, на котором, по условию, функция $f$ возрастает. Поскольку $-x_2 < -x_1$, то по определению возрастающей функции:

$f(-x_2) < f(-x_1)$

Теперь воспользуемся свойством чётности функции $f$: $f(-x) = f(x)$. Применим его к обеим частям полученного неравенства:

$f(x_2) < f(x_1)$, что эквивалентно $f(x_1) > f(x_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Это по определению означает, что функция $f$ убывает на данном промежутке.

Ответ: функция $f$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

1.34. Нечётная функция $f$, определённая на множестве $\mathbf{R}$, возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Определите, возрастает или убывает функция $f$ на промежутке $(-\infty; 0]$.

По условию задачи, функция $f$ является нечётной и определена на множестве всех действительных чисел $R$. Свойство нечётности означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Также нам дано, что функция $f$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. По определению возрастающей функции, это значит, что для любых двух значений $a$ и $b$ из этого промежутка, таких что $a < b$, справедливо неравенство $f(a) < f(b)$.

Нам нужно исследовать поведение функции на промежутке $(-\infty; 0]$. Для этого возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, для которых выполняется условие $x_1 < x_2$. Так как обе точки принадлежат промежутку $(-\infty; 0]$, то $x_1 < x_2 \le 0$.

Рассмотрим значения $-x_1$ и $-x_2$. Умножив неравенство $x_1 < x_2$ на $-1$, мы изменим знак неравенства на противоположный:

$-x_1 > -x_2$

Поскольку $x_2 \le 0$, то $-x_2 \ge 0$. Таким образом, точки $-x_1$ и $-x_2$ принадлежат промежутку $[0; +\infty)$, и для них справедливо неравенство $0 \le -x_2 < -x_1$.

Так как функция $f$ по условию возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, то для точек $-x_2$ и $-x_1$ из этого промежутка, удовлетворяющих неравенству $-x_2 < -x_1$, будет выполняться неравенство:

$f(-x_2) < f(-x_1)$

Теперь воспользуемся свойством нечётности функции $f$, согласно которому $f(-x) = -f(x)$. Применим это свойство к обеим частям полученного неравенства:

$-f(x_2) < -f(x_1)$

Наконец, умножим последнее неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства снова меняется на противоположный:

$f(x_2) > f(x_1)$

Это неравенство можно записать как $f(x_1) < f(x_2)$.

Таким образом, мы показали, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Это является определением возрастающей функции.

Ответ: функция $f$ возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$.

1.35. Функция $f$ является чётной и $\min_{[1;3]} f(x) = 2$, $\max_{[1;3]} f(x) = 5$. Найдите $\min_{[-3;-1]} f(x)$, $\max_{[-3;-1]} f(x)$.

По условию, функция $f(x)$ является чётной. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Из этого свойства следует, что множество значений, которые функция принимает на отрезке $[-a, -b]$, совпадает с множеством значений, которые она принимает на симметричном ему отрезке $[b, a]$. В данном случае речь идет об отрезках $[-3, -1]$ и $[1, 3]$.

$\min_{[-3;-1]} f(x)$

Найдём наименьшее значение функции на отрезке $[-3, -1]$. Рассмотрим любое число $x_0 \in [-3, -1]$. Тогда число $-x_0$ будет принадлежать отрезку $[1, 3]$. Так как функция $f$ является чётной, то $f(x_0) = f(-x_0)$. Это означает, что для каждого значения, которое функция принимает на отрезке $[-3, -1]$, существует равное ему значение на отрезке $[1, 3]$, и наоборот. Таким образом, множества значений функции на этих двух отрезках полностью совпадают. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-3, -1]$ должно быть таким же, как и наименьшее значение на отрезке $[1, 3]$. По условию задачи, $\min_{[1;3]} f(x) = 2$. Значит, $\min_{[-3;-1]} f(x)$ также равно 2.

Ответ: 2

$\max_{[-3;-1]} f(x)$

Рассуждая аналогично, так как множества значений функции на отрезках $[-3, -1]$ и $[1, 3]$ совпадают, то и их наибольшие значения должны быть равны. По условию задачи, $\max_{[1;3]} f(x) = 5$. Следовательно, $\max_{[-3;-1]} f(x)$ также равно 5.

Ответ: 5

1.36. Функция $f$ является нечётной и $\min_{[2;5]} f(x) = 1,$ $\max_{[2;5]} f(x) = 3.$ Найдите $\min_{[-5;-2]} f(x),$ $\max_{[-5;-2]} f(x).$

По условию, функция $f(x)$ является нечётной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Нам известны минимальное и максимальное значения функции на отрезке $[2; 5]$:

$\min_{[2;5]} f(x) = 1$

$\max_{[2;5]} f(x) = 3$

Это означает, что для любого $x \in [2; 5]$ выполняется неравенство $1 \le f(x) \le 3$.

Нам нужно найти минимальное и максимальное значения функции на симметричном отрезке $[-5; -2]$.

Рассмотрим произвольное число $t$ из отрезка $[-5; -2]$. Тогда число $x = -t$ принадлежит отрезку $[2; 5]$.

Используя свойство нечётности функции, мы можем выразить $f(t)$ через $f(x)$:

$f(t) = f(-x) = -f(x)$

Поскольку $1 \le f(x) \le 3$, мы можем умножить все части этого неравенства на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \ge -f(x) \ge -3$

Заменив $-f(x)$ на $f(t)$, получаем:

$-1 \ge f(t) \ge -3$

Это неравенство верно для любого $t \in [-5; -2]$. Оно показывает, что все значения функции на отрезке $[-5; -2]$ лежат в пределах от $-3$ до $-1$.

$\min_{[-5;-2]} f(x)$

Минимальное значение функции на отрезке $[-5; -2]$ — это наименьшее значение, которое может принимать $f(t)$ при $t \in [-5; -2]$.

Формально, $\min_{t \in [-5;-2]} f(t) = \min_{x \in [2;5]} (-f(x))$.

Известно свойство: $\min(-A) = -\max(A)$.

Следовательно, $\min_{x \in [2;5]} (-f(x)) = -(\max_{x \in [2;5]} f(x))$.

Подставляя известное значение $\max_{[2;5]} f(x) = 3$, получаем:

$\min_{[-5;-2]} f(x) = -3$

Ответ: -3.

$\max_{[-5;-2]} f(x)$

Максимальное значение функции на отрезке $[-5; -2]$ — это наибольшее значение, которое может принимать $f(t)$ при $t \in [-5; -2]$.

Формально, $\max_{t \in [-5;-2]} f(t) = \max_{x \in [2;5]} (-f(x))$.

Известно свойство: $\max(-A) = -\min(A)$.

Следовательно, $\max_{x \in [2;5]} (-f(x)) = -(\min_{x \in [2;5]} f(x))$.

Подставляя известное значение $\min_{[2;5]} f(x) = 1$, получаем:

$\max_{[-5;-2]} f(x) = -1$

Ответ: -1.

1.37. Функция задана формулой $f(x) = -3x^2 + 2x$.

1) Найдите: $f(1); f(0); f(\frac{1}{3}); f(-2)$.

2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции $f$ равно: $0; -1; -56$.

Функция задана формулой $f(x) = -3x^2 + 2x$.

1) Найдите: f(1); f(0); f(1/3); f(-2).

Для нахождения значений функции необходимо подставить указанные значения аргумента $x$ в формулу функции.

• При $x = 1$:

  $f(1) = -3 \cdot (1)^2 + 2 \cdot 1 = -3 \cdot 1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

• При $x = 0$:

  $f(0) = -3 \cdot (0)^2 + 2 \cdot 0 = -3 \cdot 0 + 0 = 0 + 0 = 0$.

• При $x = \frac{1}{3}$:

  $f(\frac{1}{3}) = -3 \cdot (\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

• При $x = -2$:

  $f(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = -3 \cdot 4 - 4 = -12 - 4 = -16$.

Ответ: $f(1) = -1$; $f(0) = 0$; $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$; $f(-2) = -16$.

2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции f равно: 0; -1; -56.

Для нахождения значений аргумента $x$, при которых функция $f(x)$ принимает заданные значения, необходимо решить соответствующие уравнения.

• При $f(x) = 0$:

  Получаем уравнение: $-3x^2 + 2x = 0$.

  Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

  $x(-3x + 2) = 0$.

  Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

  $x_1 = 0$ или $-3x + 2 = 0 \implies -3x = -2 \implies x_2 = \frac{2}{3}$.

• При $f(x) = -1$:

  Получаем уравнение: $-3x^2 + 2x = -1$.

  Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $-3x^2 + 2x + 1 = 0$.

  Для удобства умножим обе части на -1: $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

  Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

  $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

  Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

  $x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

  $x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

• При $f(x) = -56$:

  Получаем уравнение: $-3x^2 + 2x = -56$.

  Перенесем все слагаемые в одну сторону: $-3x^2 + 2x + 56 = 0$.

  Умножим обе части на -1: $3x^2 - 2x - 56 = 0$.

  Найдем дискриминант:

  $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-56) = 4 + 672 = 676$.

  Так как $\sqrt{676} = 26$, найдем корни уравнения:

  $x_1 = \frac{-(-2) + 26}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 26}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$.

  $x_2 = \frac{-(-2) - 26}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 26}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

Ответ: при $f(x) = 0$ аргумент $x$ равен $0$ или $\frac{2}{3}$; при $f(x) = -1$ аргумент $x$ равен $1$ или $-\frac{1}{3}$; при $f(x) = -56$ аргумент $x$ равен $\frac{14}{3}$ или $-4$.