Номер 1.36, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.36. Функция $f$ является нечётной и $\min_{[2;5]} f(x) = 1,$ $\max_{[2;5]} f(x) = 3.$ Найдите $\min_{[-5;-2]} f(x),$ $\max_{[-5;-2]} f(x).$

По условию, функция $f(x)$ является нечётной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Нам известны минимальное и максимальное значения функции на отрезке $[2; 5]$:

$\min_{[2;5]} f(x) = 1$

$\max_{[2;5]} f(x) = 3$

Это означает, что для любого $x \in [2; 5]$ выполняется неравенство $1 \le f(x) \le 3$.

Нам нужно найти минимальное и максимальное значения функции на симметричном отрезке $[-5; -2]$.

Рассмотрим произвольное число $t$ из отрезка $[-5; -2]$. Тогда число $x = -t$ принадлежит отрезку $[2; 5]$.

Используя свойство нечётности функции, мы можем выразить $f(t)$ через $f(x)$:

$f(t) = f(-x) = -f(x)$

Поскольку $1 \le f(x) \le 3$, мы можем умножить все части этого неравенства на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \ge -f(x) \ge -3$

Заменив $-f(x)$ на $f(t)$, получаем:

$-1 \ge f(t) \ge -3$

Это неравенство верно для любого $t \in [-5; -2]$. Оно показывает, что все значения функции на отрезке $[-5; -2]$ лежат в пределах от $-3$ до $-1$.

$\min_{[-5;-2]} f(x)$

Минимальное значение функции на отрезке $[-5; -2]$ — это наименьшее значение, которое может принимать $f(t)$ при $t \in [-5; -2]$.

Формально, $\min_{t \in [-5;-2]} f(t) = \min_{x \in [2;5]} (-f(x))$.

Известно свойство: $\min(-A) = -\max(A)$.

Следовательно, $\min_{x \in [2;5]} (-f(x)) = -(\max_{x \in [2;5]} f(x))$.

Подставляя известное значение $\max_{[2;5]} f(x) = 3$, получаем:

$\min_{[-5;-2]} f(x) = -3$

Ответ: -3.

$\max_{[-5;-2]} f(x)$

Максимальное значение функции на отрезке $[-5; -2]$ — это наибольшее значение, которое может принимать $f(t)$ при $t \in [-5; -2]$.

Формально, $\max_{t \in [-5;-2]} f(t) = \max_{x \in [2;5]} (-f(x))$.

Известно свойство: $\max(-A) = -\min(A)$.

Следовательно, $\max_{x \in [2;5]} (-f(x)) = -(\min_{x \in [2;5]} f(x))$.

Подставляя известное значение $\min_{[2;5]} f(x) = 1$, получаем:

$\max_{[-5;-2]} f(x) = -1$

Ответ: -1.