Номер 1.39, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.39. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{9}{x + 4}$;

2) $f(x) = \frac{x - 6}{4}$;

3) $f(x) = \sqrt{x - 7}$;

4) $f(x) = \frac{10}{\sqrt{-x - 1}}$;

5) $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x - 7}$;

6) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x}$;

7) $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}$;

8) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{12 + 4x - x^2}}$;

9) $f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1}$;

10) $f(x) = \sqrt{x - \sqrt{-x}}$.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция $f(x) = \frac{9}{x+4}$ представляет собой дробь. Основное ограничение для дробей — знаменатель не может быть равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение $x$:
$x + 4 = 0$
$x = -4$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{x-6}{4}$ является линейной функцией, так как ее можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{4}x - \frac{6}{4}$. В знаменателе стоит константа 4, которая не равна нулю. Других ограничений, таких как корни или логарифмы, в функции нет. Поэтому функция определена для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \sqrt{x-7}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.
$x - 7 \geq 0$
$x \geq 7$
Таким образом, область определения — это все числа, большие или равные 7.
Ответ: $x \in [7; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = \frac{10}{\sqrt{-x-1}}$ имеет два ограничения. Во-первых, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Во-вторых, знаменатель не может быть равен нулю. Поскольку квадратный корень находится в знаменателе, эти два условия объединяются в одно: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$-x - 1 > 0$
$-x > 1$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x < -1$
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x - 7}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x^2 + 6x - 7 \geq 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -7$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.
Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \geq 0$ выполняется на участках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
$x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.

6) В функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 - 5x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 5) \neq 0$
Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен нулю.
$x \neq 0$ и $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ является суммой двух квадратных корней. Для ее определения необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $1 \geq x$, или $x \leq 1$.
Область определения — это пересечение множеств решений $x \geq 0$ и $x \leq 1$, что дает отрезок $0 \leq x \leq 1$.
Ответ: $x \in [0; 1]$.

8) В функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{12+4x-x^2}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.
$12 + 4x - x^2 > 0$
Для удобства умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 4x - 12 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Графиком $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
$-2 < x < 6$.
Ответ: $x \in (-2; 6)$.

9) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-1}$ имеет два ограничения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$
Из первого условия следует $x \geq 1$. Второе условие исключает значение $x=1$. Объединив эти условия, получаем, что $x$ должен быть строго больше 1.
$x > 1$.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

10) Функция $f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{-x}$ определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны.
$\begin{cases} x \geq 0 \\ -x \geq 0 \end{cases}$
Решая второе неравенство, получаем $x \leq 0$.
Необходимо найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям: $x \geq 0$ и $x \leq 0$. Единственное такое число — это $x=0$.
Следовательно, область определения состоит из одной точки.
Ответ: $\{0\}$.