Номер 1.32, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.32. Существует ли функция, определенная на множестве $\mathbb{R}$, которая одновременно является:

1) нечётной и возрастающей;

2) нечётной и убывающей;

3) чётной и возрастающей?

1) нечётной и возрастающей;

Да, такая функция существует.

Вспомним определения:

• Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения должна быть симметрична относительно нуля.
• Функция $f(x)$ называется возрастающей на множестве $\mathbb{R}$, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

В качестве примера можно привести функцию $f(x) = x^3$. Проверим, удовлетворяет ли она обоим условиям на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

1. Проверка на нечётность:
Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
Равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, функция является нечётной.

2. Проверка на возрастание:
Возьмём два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:
$f(x_2) - f(x_1) = x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$.
Поскольку $x_1 < x_2$, то множитель $(x_2 - x_1) > 0$.
Второй множитель $(x_2^2 + x_1x_2 + x_1^2)$ представляет собой неполный квадрат суммы и всегда положителен при $x_1$ и $x_2$, не равных одновременно нулю. Его можно представить в виде $(x_1 + \frac{1}{2}x_2)^2 + \frac{3}{4}x_2^2 > 0$.
Таким образом, произведение двух положительных множителей положительно: $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$.
Это означает, что функция $f(x) = x^3$ является возрастающей на всём множестве $\mathbb{R}$.

Другим, более простым примером является функция $f(x) = x$.

Ответ: Да, существует. Например, $f(x) = x^3$.

2) нечётной и убывающей;

Да, такая функция существует.

Определение убывающей функции: функция $f(x)$ называется убывающей на множестве $\mathbb{R}$, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Примером такой функции служит $f(x) = -x^3$. Проверим её свойства.

1. Проверка на нечётность:
$f(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3$.
$-f(x) = -(-x^3) = x^3$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

2. Проверка на убывание:
Возьмём два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2$. Рассмотрим разность $f(x_2) - f(x_1)$:
$f(x_2) - f(x_1) = (-x_2^3) - (-x_1^3) = x_1^3 - x_2^3 = -(x_2^3 - x_1^3)$.
Как мы установили в пункте 1, при $x_1 < x_2$ выражение $(x_2^3 - x_1^3) > 0$.
Следовательно, $-(x_2^3 - x_1^3) < 0$.
Получаем, что $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда $f(x_2) < f(x_1)$.
Это соответствует определению убывающей функции.

Другим примером является функция $f(x) = -x$.

Ответ: Да, существует. Например, $f(x) = -x^3$.

3) чётной и возрастающей?

Нет, такой функции, определённой на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$, не существует.

Вспомним определение чётной функции: функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Докажем это методом от противного. Предположим, что такая функция $f(x)$ существует. То есть, она является одновременно чётной и возрастающей на $\mathbb{R}$.

Возьмём два различных числа, симметричных относительно нуля, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Очевидно, что $x_1 < x_2$ (т.е. $-1 < 1$).

1. Так как по нашему предположению функция $f(x)$ является возрастающей, то из $x_1 < x_2$ должно следовать $f(x_1) < f(x_2)$.
Для наших точек это означает: $f(-1) < f(1)$.

2. Так как по нашему предположению функция $f(x)$ является чётной, то должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Для $x=1$ это означает: $f(-1) = f(1)$.

Мы получили два несовместных утверждения: $f(-1) < f(1)$ и $f(-1) = f(1)$. Это является противоречием.
Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такой функции неверно.

Ответ: Нет, не существует.