Номер 1.31, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.31. Областью определения нечётных функций $f$ и $g$ является множество $M$. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y=f(x)+g(x)$;

2) $y=f(x)-g(x)$;

3) $y=f(x) \cdot g(x)$.

По условию, функции $f(x)$ и $g(x)$ являются нечётными, а их общая область определения — множество $M$.
Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:
1. Симметричность области определения относительно нуля. Так как $f$ и $g$ нечётные, их область определения $M$ симметрична. Следовательно, область определения для каждой из исследуемых функций (сумма, разность, произведение) также будет $M$ и будет симметричной.
2. Выполнение равенства $y(-x) = y(x)$ (для чётной функции) или $y(-x) = -y(x)$ (для нечётной функции).
Поскольку $f$ и $g$ — нечётные, для любого $x \in M$ выполняются равенства: $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x) = -g(x)$.

1) $y = f(x) + g(x)$

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) + g(x)$.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) + g(-x)$
Используя свойство нечётности функций $f$ и $g$, заменяем $f(-x)$ на $-f(x)$ и $g(-x)$ на $-g(x)$:
$h(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -f(x) - g(x)$
Вынесем знак минус за скобки:
$h(-x) = -(f(x) + g(x))$
Так как $h(x) = f(x) + g(x)$, то мы получили, что $h(-x) = -h(x)$.
Следовательно, функция является нечётной (сумма двух нечётных функций есть нечётная функция).
Ответ: функция нечётная.

2) $y = f(x) - g(x)$

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) - g(x)$.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) - g(-x)$
Подставим выражения для нечётных функций:
$h(-x) = (-f(x)) - (-g(x)) = -f(x) + g(x)$
Вынесем знак минус за скобки:
$h(-x) = -(f(x) - g(x))$
Так как $h(x) = f(x) - g(x)$, то мы получили, что $h(-x) = -h(x)$.
Следовательно, функция является нечётной (разность двух нечётных функций есть нечётная функция).
Ответ: функция нечётная.

3) $y = f(x) \cdot g(x)$

Обозначим данную функцию как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим выражения для нечётных функций:
$h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x))$
Произведение двух отрицательных величин даёт положительную:
$h(-x) = f(x) \cdot g(x)$
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, то мы получили, что $h(-x) = h(x)$.
Следовательно, функция является чётной (произведение двух нечётных функций есть чётная функция).
Ответ: функция чётная.