Номер 1.38, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.38. Укажите на рисунке 1.14 фигуру, которая не может служить графиком функции.

Рис. 1.14

a

$y$

$x$

$0$

б

$y$

$x$

$0$

в

$y$

$x$

$0$

г

$y$

$x$

$0$

Для того чтобы определить, какая из фигур не может служить графиком функции, воспользуемся определением функции. Функция — это такое правило или закон, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

Геометрически это свойство можно проверить с помощью теста вертикальной прямой: кривая на координатной плоскости является графиком функции тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая пересекает её не более чем в одной точке. Проанализируем каждую из представленных фигур с помощью этого теста.

а На данном рисунке изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат. Любая вертикальная прямая вида $x=c$ (где $c$ — константа из области определения) пересекает эту кривую не более чем в одной точке. Следовательно, данная фигура является графиком функции (например, $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ для некоторого радиуса $R>0$).

б На этом рисунке изображена нижняя полуокружность. Как и в предыдущем случае, любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Эта фигура также является графиком функции (например, $y = -\sqrt{R^2 - x^2}$).

в На этом рисунке изображена правая полуокружность, ось симметрии которой — ось абсцисс. Если провести вертикальную прямую, например $x=c$ для любого $c$ из интервала $(0, R)$, то она пересечет график в двух точках: с положительной и отрицательной ординатой. Это означает, что одному значению аргумента $x$ соответствует два различных значения $y$, что противоречит определению функции. Таким образом, эта фигура не может служить графиком функции.

г Этот график состоит из двух дуг. Важно заметить, что при $x=0$ нижняя точка на оси $y$ является «выколотой» (обозначена пустым кружком), то есть не принадлежит графику, в то время как верхняя точка принадлежит ему. Таким образом, для $x=0$ существует единственное значение $y$. Для всех остальных значений $x$ из области определения вертикальная прямая также пересекает график ровно в одной точке. Следовательно, эта фигура является графиком функции.

Исходя из проведенного анализа, единственная фигура, которая не проходит тест вертикальной прямой и, следовательно, не может быть графиком функции, — это фигура, изображенная на рисунке в.

Ответ: в.