Номер 1.43, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.43. Верно ли утверждение:

1) каждая прямая, параллельная оси ординат, пересекает график любой функции в одной точке;

2) прямая, параллельная оси абсцисс, может не пересекать график функции;

3) прямая, параллельная оси ординат, не может пересекать график функции более чем в одной точке?

1) каждая прямая, параллельная оси ординат, пересекает график любой функции в одной точке;

Это утверждение неверно. Прямая, параллельная оси ординат (вертикальная прямая), имеет уравнение вида $x = c$, где $c$ - некоторая константа. Такая прямая задает все точки с одной и той же абсциссой $c$. Согласно определению функции, каждому значению аргумента $x$ из области определения функции должно соответствовать единственное значение функции $y$. Утверждение было бы верным, если бы область определения любой функции была вся числовая прямая. Однако это не так. Если число $c$ не входит в область определения функции $f(x)$, то прямая $x = c$ не будет иметь ни одной общей точки с графиком этой функции. Например, рассмотрим функцию $y = \ln(x)$. Ее область определения — $x > 0$. Прямая $x = -2$, параллельная оси ординат, не пересекает график этой функции, поскольку $-2$ не входит в область определения.

Ответ: неверно.

2) прямая, параллельная оси абсцисс, может не пересекать график функции;

Это утверждение верно. Прямая, параллельная оси абсцисс (горизонтальная прямая), имеет уравнение вида $y = k$, где $k$ - некоторая константа. Пересечение такой прямой с графиком функции $y = f(x)$ означает, что существует такое значение $x$, при котором $f(x) = k$. Это равносильно тому, что число $k$ принадлежит области значений функции. Если выбрать число $k$, которое не входит в область значений функции, то прямая $y = k$ не будет пересекать ее график. Например, для функции $y = x^2$ область значений — это множество всех неотрицательных чисел, то есть $y \in [0, +\infty)$. Прямая $y = -1$ не пересекает график этой функции, так как уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных решений.

Ответ: верно.

3) прямая, параллельная оси ординат, не может пересекать график функции более чем в одной точке?

Это утверждение верно. Оно является прямым следствием определения функции. По определению, для каждого значения аргумента $x$ из области определения функции существует ровно одно соответствующее ему значение функции $y$. Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением $x = c$. Если бы эта прямая пересекала график функции $y = f(x)$ в двух или более точках, например, в $(c, y_1)$ и $(c, y_2)$ где $y_1 \neq y_2$, то это означало бы, что одному значению аргумента $x = c$ соответствуют два разных значения функции, что противоречит самому определению функции. Этот факт известен как "тест вертикальной линии": геометрическая фигура на координатной плоскости является графиком функции тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке.

Ответ: верно.