Номер 1.50, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.50. Постройте график функции:

1) $y = 0.5\sqrt{x}$;

2) $y = -2\sqrt{x-2}$.

1) Построение графика функции $y = 0,5\sqrt{x}$.

Это функция вида $y = k\sqrt{x}$, где $k=0,5$. График такой функции является ветвью параболы.

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ и коэффициент $0,5 > 0$, то $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = 0,5\sqrt{x}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сжатия по оси ординат (OY) в 2 раза (или с коэффициентом 0,5). Для построения найдем несколько ключевых точек, подставляя удобные значения $x$ (такие, из которых легко извлекается квадратный корень).

Составим таблицу значений:

• при $x=0$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{1} = 0,5$. Точка (1; 0,5).
• при $x=4$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{4} = 0,5 \cdot 2 = 1$. Точка (4; 1).
• при $x=9$, $y = 0,5 \cdot \sqrt{9} = 0,5 \cdot 3 = 1,5$. Точка (9; 1,5).

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График начинается в начале координат и расположен в I координатной четверти.

Ответ: График функции $y = 0,5\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (0; 0) и проходящая через точки (1; 0,5), (4; 1), (9; 1,5).

2) Построение графика функции $y = -2\sqrt{x-2}$.

Это функция вида $y = k\sqrt{x-a} + b$, где $k=-2$, $a=2$, $b=0$. Её график можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью преобразований.

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Область определения $D(y) = [2; +\infty)$.

2. Область значений: поскольку $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $2\sqrt{x-2} \ge 0$. Умножение на -1 меняет знак неравенства, следовательно $-2\sqrt{x-2} \le 0$, то есть $y \le 0$. Область значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Построение графика. Выполним последовательные преобразования графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (OX). Получаем график функции $y = \sqrt{x-2}$. Начальная точка смещается из (0;0) в (2;0).
2. Растяжение графика $y = \sqrt{x-2}$ от оси OX в 2 раза (вдоль оси OY). Получаем $y = 2\sqrt{x-2}$.
3. Симметричное отражение графика $y = 2\sqrt{x-2}$ относительно оси абсцисс (OX). Получаем искомый график $y = -2\sqrt{x-2}$.

Составим таблицу значений для построения:

• при $x=2$, $y = -2\sqrt{2-2} = -2 \cdot 0 = 0$. Точка (2; 0).
• при $x=3$, $y = -2\sqrt{3-2} = -2 \cdot 1 = -2$. Точка (3; -2).
• при $x=6$, $y = -2\sqrt{6-2} = -2\sqrt{4} = -2 \cdot 2 = -4$. Точка (6; -4).
• при $x=11$, $y = -2\sqrt{11-2} = -2\sqrt{9} = -2 \cdot 3 = -6$. Точка (11; -6).

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой. График начинается в точке (2; 0) и расположен в IV координатной четверти.

Ответ: График функции $y = -2\sqrt{x-2}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (2; 0) и проходящая через точки (3; -2), (6; -4), (11; -6), направленная вниз.