Номер 2.5, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.5. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{4x+1}$;

2) $y = \frac{1}{1-4x}$.

1) $y = \frac{1}{4x + 1}$

Данная функция является дробно-линейной, её график — гипербола. Для построения графика исследуем функцию.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $4x + 1 \neq 0$ $4x \neq -1$ $x \neq -\frac{1}{4}$ Область определения: $D(y) = (-\infty; -0.25) \cup (-0.25; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Из области определения следует, что прямая $x = -0.25$ является вертикальной асимптотой. Чтобы найти горизонтальную асимптоту, посмотрим, к чему стремится $y$ при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{4x + 1} = 0$. Следовательно, прямая $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

3. Преобразование графика.

График функции $y = \frac{1}{4x + 1}$ можно получить из графика базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований: $y = \frac{1}{4(x + \frac{1}{4})} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x + \frac{1}{4}}$ Это означает:

• Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ влево на $\frac{1}{4}$ единицы, чтобы получить $y = \frac{1}{x + \frac{1}{4}}$.
• Сжатие полученного графика к оси Ox в 4 раза.

Поскольку коэффициент при дроби ($\frac{1}{4}$) положительный, ветви гиперболы будут расположены в I и III координатных четвертях относительно новых асимптот.

4. Контрольные точки.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{4 \cdot 0 + 1} = 1$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.
• При $y=0$, $\frac{1}{4x+1} = 0$, решений нет. График не пересекает ось Ox, что соответствует тому, что $y=0$ — горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в нескольких дополнительных точках:

5. Построение графика.

1. Строим систему координат.
2. Проводим асимптоты: вертикальную прямую $x = -0.25$ и горизонтальную прямую $y = 0$.
3. Отмечаем вычисленные точки: $(-1.25, -0.25)$, $(-0.5, -1)$, $(0, 1)$, $(0.75, 0.25)$.
4. Плавно соединяем точки, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам. Одна ветвь находится вверху справа от асимптот, другая — внизу слева.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -0.25$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно асимптот. График проходит через точку $(0, 1)$.

2) $y = \frac{1}{1 - 4x}$

Это также дробно-линейная функция, и её график — гипербола.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - 4x \neq 0$ $4x \neq 1$ $x \neq \frac{1}{4}$ Область определения: $D(y) = (-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Прямая $x = 0.25$ является вертикальной асимптотой. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 - 4x} = 0$. Прямая $y = 0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

3. Преобразование графика.

График функции $y = \frac{1}{1 - 4x}$ можно получить из графика $y = \frac{1}{x}$: $y = \frac{1}{-4(x - \frac{1}{4})} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - \frac{1}{4}}$ Это означает:

• Сдвиг графика $y = \frac{1}{x}$ вправо на $\frac{1}{4}$ единицы, чтобы получить $y = \frac{1}{x - \frac{1}{4}}$.
• Отражение полученного графика относительно оси Ox.
• Сжатие к оси Ox в 4 раза.

Из-за отрицательного коэффициента ($-\frac{1}{4}$) ветви гиперболы будут расположены во II и IV координатных четвертях относительно новых асимптот.

4. Контрольные точки.

Найдем точки пересечения с осями:

• При $x=0$, $y = \frac{1}{1 - 4 \cdot 0} = 1$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.
• При $y=0$, $\frac{1}{1-4x} = 0$, решений нет. График не пересекает ось Ox.

Вычислим значения функции в нескольких дополнительных точках:

5. Построение графика.

1. Строим систему координат.
2. Проводим асимптоты: вертикальную прямую $x = 0.25$ и горизонтальную прямую $y = 0$.
3. Отмечаем вычисленные точки: $(-0.75, 0.25)$, $(0, 1)$, $(0.5, -1)$, $(1.25, -0.25)$.
4. Плавно соединяем точки, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам. Одна ветвь находится вверху слева от асимптот, другая — внизу справа.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 0.25$ и горизонтальной асимптотой $y = 0$. Ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. График проходит через точку $(0, 1)$.