Номер 2.10, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.10. Постройте график функции:

1) $y = 4\\sqrt{2x - 3} - 1$;

2) $y = 2(3x - 1)^2 + 1.$

1) Чтобы построить график функции $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1$, мы будем исходить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ и применять к нему последовательные преобразования.

1. Область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$2x - 3 \ge 0$
$2x \ge 3$
$x \ge 1.5$
Таким образом, график функции существует только при $x \ge 1.5$.

2. Начальная точка графика. График начинается в точке, где подкоренное выражение равно нулю.
При $x = 1.5$, значение функции $y = 4\sqrt{2(1.5) - 3} - 1 = 4\sqrt{0} - 1 = -1$.
Следовательно, начальная точка (вершина) графика — $(1.5; -1)$.

3. Построение графика по точкам. Для более точного построения найдем координаты нескольких дополнительных точек:
- при $x = 2$: $y = 4\sqrt{2(2) - 3} - 1 = 4\sqrt{1} - 1 = 3$. Точка $(2; 3)$.
- при $x = 3.5$: $y = 4\sqrt{2(3.5) - 3} - 1 = 4\sqrt{4} - 1 = 4 \cdot 2 - 1 = 7$. Точка $(3.5; 7)$.
- при $x = 6.5$: $y = 4\sqrt{2(6.5) - 3} - 1 = 4\sqrt{10} - 1 \approx 4 \cdot 3.16 - 1 = 12.64 - 1 = 11.64$. Точка $(6.5; \approx 11.64)$.

График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(1.5; -1)$ и идущую вправо и вверх. Он получен из графика $y = \sqrt{x}$ путем следующих преобразований: сжатие к оси $Oy$ в 2 раза, растяжение от оси $Ox$ в 4 раза, сдвиг на 1.5 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = 4\sqrt{2x - 3} - 1$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(1.5; -1)$ и проходит через точки $(2; 3)$ и $(3.5; 7)$.

2) Чтобы построить график функции $y = 2(3x - 1)^2 + 1$, определим её ключевые характеристики. Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Вершина параболы. Функция записана в форме, из которой легко найти вершину. Квадрат $(3x - 1)^2$ всегда неотрицателен и достигает своего минимума (нуля) при $3x - 1 = 0$, то есть $x = 1/3$.
При $x = 1/3$, значение функции $y = 2(3 \cdot \frac{1}{3} - 1)^2 + 1 = 2(0)^2 + 1 = 1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1/3; 1)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $2$ перед скобкой положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Построение графика по точкам. Найдем несколько точек для более точного построения. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1/3$.
- Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$y = 2(3 \cdot 0 - 1)^2 + 1 = 2(-1)^2 + 1 = 3$. Точка $(0; 3)$.
- Найдем точку, симметричную точке $(0; 3)$ относительно оси $x = 1/3$. Её абсцисса $x = 1/3 + (1/3 - 0) = 2/3$. Точка $(2/3; 3)$.
- Возьмем $x = 1$:
$y = 2(3 \cdot 1 - 1)^2 + 1 = 2(2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$. Точка $(1; 9)$.
- Симметричная ей точка имеет абсциссу $x = 1/3 - (1 - 1/3) = -1/3$. Точка $(-1/3; 9)$.

Уравнение можно привести к стандартному виду $y = a(x-h)^2+k$:
$y = 2(3(x - 1/3))^2 + 1 = 2 \cdot 9(x - 1/3)^2 + 1 = 18(x - 1/3)^2 + 1$.
Это показывает, что график $y=x^2$ был растянут в 18 раз вдоль оси $Oy$ и затем смещен на $1/3$ вправо и на $1$ вверх.

Ответ: График функции $y = 2(3x - 1)^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1/3; 1)$, ветви которой направлены вверх. График симметричен относительно прямой $x=1/3$ и проходит через точки $(0; 3)$, $(2/3; 3)$, $(1; 9)$ и $(-1/3; 9)$.