Номер 2.14, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 2. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Глава 1. Повторение и расширение сведений о функции - номер 2.14, страница 21.

2.14. Графики каких функций произвольная горизонтальная прямая пересекает не более чем в одной точке:

1) $y = 2x - 1;$

2) $y = 2;$

3) $y = -x^2;$

4) $y = \frac{6}{x-1}?$

Вопрос заключается в том, чтобы определить, для каких из предложенных функций любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает их график не более чем в одной точке. Это свойство также известно как инъективность функции. Проанализируем каждую функцию по отдельности.

1) $y = 2x - 1$

Эта функция является линейной, ее график — прямая линия. Произвольная горизонтальная прямая задается уравнением $y = c$, где $c$ — некоторая константа. Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:

$2x - 1 = c$

Решим это уравнение относительно $x$:

$2x = c + 1$

$x = \frac{c + 1}{2}$

Для любого значения константы $c$ это уравнение имеет ровно одно решение. Это означает, что любая горизонтальная прямая пересекает график функции $y = 2x - 1$ ровно в одной точке. Следовательно, условие "не более чем в одной точке" выполняется.

Ответ: график этой функции удовлетворяет условию.

2) $y = 2$

Эта функция является постоянной, ее график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ и параллельная оси абсцисс. Рассмотрим произвольную горизонтальную прямую $y = c$.

Если мы выберем $c = 2$, то прямая $y = 2$ совпадает с графиком функции $y = 2$. В этом случае они имеют бесконечно много точек пересечения.

Если выбрать $c \neq 2$, то прямая $y = c$ будет параллельна графику функции и не будет иметь с ним точек пересечения (0 точек).

Поскольку существует горизонтальная прямая ($y=2$), которая пересекает график более чем в одной точке, данная функция не удовлетворяет условию задачи, которое должно выполняться для произвольной горизонтальной прямой.

Ответ: график этой функции не удовлетворяет условию.

3) $y = -x^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Проверим, сколько точек пересечения она может иметь с горизонтальной прямой $y = c$. Приравняем $y = c$ и $y = -x^2$, что дает уравнение $-x^2 = c$, или $x^2 = -c$.

Рассмотрим различные значения $c$. Если $c > 0$, то $-c < 0$, и уравнение $x^2 = -c$ не имеет действительных корней (0 точек пересечения). Если $c = 0$, то уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень $x = 0$ (1 точка пересечения). Если $c < 0$, то $-c > 0$, и уравнение $x^2 = -c$ имеет два различных корня: $x = \sqrt{-c}$ и $x = -\sqrt{-c}$ (2 точки пересечения).

Так как существуют горизонтальные прямые (например, $y = -1$), которые пересекают график функции в двух точках, условие "не более чем в одной точке" не выполняется.

Ответ: график этой функции не удовлетворяет условию.

4) $y = \frac{6}{x - 1}$

Это дробно-рациональная функция, ее график — гипербола. Область определения функции: $x \neq 1$. Найдем количество точек пересечения с горизонтальной прямой $y = c$, решив уравнение $\frac{6}{x - 1} = c$.

Рассмотрим два случая. Первый случай: $c = 0$. Уравнение $\frac{6}{x-1} = 0$ не имеет решений, так как числитель дроби равен 6 (не равен нулю). Это означает, что горизонтальная прямая $y = 0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой и не пересекает график функции (0 точек пересечения).

Второй случай: $c \neq 0$. Тогда можно выразить $x$: $c(x - 1) = 6$, откуда $x - 1 = \frac{6}{c}$, и $x = 1 + \frac{6}{c}$. Для любого ненулевого значения $c$ это уравнение имеет ровно одно решение для $x$. Значит, любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $c \neq 0$) пересекает график ровно в одной точке.

Таким образом, любая горизонтальная прямая пересекает график этой функции либо в одной точке (если $c \neq 0$), либо не пересекает вовсе (если $c=0$). В обоих случаях количество точек пересечения не более одной. Следовательно, эта функция удовлетворяет условию задачи.

Ответ: график этой функции удовлетворяет условию.

Итого, функции, графики которых произвольная горизонтальная прямая пересекает не более чем в одной точке, — это функции под номерами 1 и 4.