Номер 2.8, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.8. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x + 1}$;

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$.

1) $y = \sqrt{3x+1}$

Для построения графика функции, сначала определим ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$3x+1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -1/3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = [-1/3; +\infty)$.

Область значений функции, поскольку арифметический корень всегда неотрицателен, будет $E(y) = [0; +\infty)$.

График этой функции — это ветвь параболы. Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Удобно выбирать такие значения $x$, при которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Ключевые точки:
- Начальная точка: при $x = -1/3$, $y = \sqrt{3(-1/3)+1} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-1/3; 0)$.
- При $x = 0$, $y = \sqrt{3(0)+1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0; 1)$.
- При $x = 1$, $y = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1; 2)$.
- При $x = 8/3$, $y = \sqrt{3(8/3)+1} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(8/3; 3)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим искомый график. Он начинается в точке $(-1/3; 0)$ и уходит вправо и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{3x+1}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-1/3; 0)$ и проходит через точки $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(8/3; 3)$.

2) $y = \sqrt{5-2x}$

Определим область определения функции из условия, что подкоренное выражение неотрицательно:
$5-2x \ge 0$
$5 \ge 2x$
$x \le 5/2$ или $x \le 2.5$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2.5]$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

График этой функции — это ветвь параболы. Найдем координаты ключевых точек для построения.
Ключевые точки:
- Начальная точка: при $x = 2.5$, $y = \sqrt{5-2(2.5)} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(2.5; 0)$.
- При $x = 2$, $y = \sqrt{5-2(2)} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2; 1)$.
- При $x = 0.5$, $y = \sqrt{5-2(0.5)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(0.5; 2)$.
- При $x = -2$, $y = \sqrt{5-2(-2)} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-2; 3)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график. Он начинается в точке $(2.5; 0)$ и уходит влево и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{5-2x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(2.5; 0)$ и проходит через точки $(2; 1)$, $(0.5; 2)$ и $(-2; 3)$.