Номер 2.6, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.6. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3x+1}$;

2) $y = \frac{1}{1-3x}$.

1) $y=\frac{1}{3x+1}$

Для построения графика данной функции, которая является дробно-линейной, проанализируем ее свойства. Графиком является гипербола.

1. Область определения.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю.

$3x+1 \neq 0 \implies 3x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Из области определения следует, что прямая $x = -\frac{1}{3}$ является вертикальной асимптотой графика.

Для нахождения горизонтальной асимптоты найдем предел функции при $x$, стремящемся к бесконечности:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{3x+1} = 0$.

Следовательно, прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.

3. Построение по точкам.

График данной функции можно получить из графика базовой гиперболы $y=\frac{1}{x}$ путем сдвига и сжатия. Центр симметрии новой гиперболы находится в точке пересечения асимптот $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Найдем несколько контрольных точек для построения ветвей гиперболы.

Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy), подставив $x=0$:

$y(0) = \frac{1}{3 \cdot 0 + 1} = 1$. Точка пересечения — $(0; 1)$.

Вычислим значения функции в нескольких других точках по обе стороны от вертикальной асимптоты:

• Если $x=1$, то $y = \frac{1}{3 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{4}$. Точка $(1; 0.25)$.
• Если $x=-1$, то $y = \frac{1}{3 \cdot (-1) + 1} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(-1; -0.5)$.
• Если $x=-\frac{2}{3}$, то $y = \frac{1}{3 \cdot (-\frac{2}{3}) + 1} = \frac{1}{-2+1} = -1$. Точка $(-\frac{2}{3}; -1)$.

4. Построение графика.

В системе координат строим асимптоты: пунктирные линии $x = -\frac{1}{3}$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки $(0; 1)$, $(1; 0.25)$, $(-1; -0.5)$, $(-\frac{2}{3}; -1)$ и соединяем их плавными кривыми, приближающимися к асимптотам. Ветви гиперболы будут расположены в первой и третьей четвертях относительно системы координат, смещенной в точку $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = -\frac{1}{3}$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах I и III относительно точки пересечения асимптот $(-\frac{1}{3}; 0)$. График проходит через точки $(-1; -0.5)$, $(-\frac{2}{3}; -1)$, $(0; 1)$.

2) $y=\frac{1}{1-3x}$

Данная функция также является дробно-линейной, ее график — гипербола.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$1-3x \neq 0 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{3}$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x = \frac{1}{3}$.

Горизонтальная асимптота (предел при $x \to \pm\infty$):

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1-3x} = 0$.

Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).

3. Построение по точкам.

Центр симметрии гиперболы — точка $(\frac{1}{3}; 0)$.

Преобразуем функцию: $y = \frac{1}{1-3x} = \frac{1}{-(3x-1)} = -\frac{1}{3x-1}$. Знак "минус" перед дробью означает, что ветви гиперболы будут расположены во второй и четвертой четвертях относительно новых осей (асимптот).

Найдем контрольные точки:

Точка пересечения с осью Oy ($x=0$):

$y(0) = \frac{1}{1 - 3 \cdot 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.

Другие точки:

• Если $x=1$, то $y = \frac{1}{1 - 3 \cdot 1} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(1; -0.5)$.
• Если $x=\frac{2}{3}$, то $y = \frac{1}{1 - 3 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{1}{1-2} = -1$. Точка $(\frac{2}{3}; -1)$.
• Если $x=-1$, то $y = \frac{1}{1 - 3 \cdot (-1)} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$. Точка $(-1; 0.25)$.

4. Построение графика.

В системе координат строим асимптоты $x = \frac{1}{3}$ и $y=0$. Наносим точки $(0; 1)$, $(1; -0.5)$, $(\frac{2}{3}; -1)$, $(-1; 0.25)$ и проводим через них ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно центра $(\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x = \frac{1}{3}$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах II и IV относительно точки пересечения асимптот $(\frac{1}{3}; 0)$. График проходит через точки $(-1; 0.25)$, $(0; 1)$, $(\frac{2}{3}; -1)$, $(1; -0.5)$.