Номер 2.1, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.1. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x}{5}} ;$

2) $y = \sqrt{-2x}.$

1) Чтобы построить график функции $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$, выполним следующие действия:

Шаг 1: Нахождение области определения.
Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.
$\frac{x}{5} \ge 0$
Умножив обе части на 5, получаем:
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции будет располагаться в правой полуплоскости относительно оси OY, включая саму ось.

Шаг 2: Нахождение области значений.
По определению, арифметический квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение. Следовательно, $y \ge 0$.
Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции будет располагаться в верхней полуплоскости относительно оси OX, включая саму ось.
Из шагов 1 и 2 следует, что весь график находится в первой координатной четверти.

Шаг 3: Нахождение ключевых точек.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Для удобства будем выбирать такие значения $x$, при которых подкоренное выражение $\frac{x}{5}$ является полным квадратом.
- Если $x = 0$, то $y = \sqrt{\frac{0}{5}} = 0$. Получаем точку (0; 0). Это начальная точка графика.
- Если $x = 5$, то $y = \sqrt{\frac{5}{5}} = \sqrt{1} = 1$. Получаем точку (5; 1).
- Если $x = 20$, то $y = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (20; 2).

Шаг 4: Построение графика.
График функции $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$ — это ветвь параболы $x = 5y^2$ (при $y \ge 0$). Он начинается в точке (0; 0) и плавно поднимается вправо и вверх, проходя через вычисленные точки. По сравнению с графиком $y=\sqrt{x}$, данный график растянут вдоль оси абсцисс. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\frac{x}{5}}$ является ветвью параболы с вершиной в начале координат (0; 0), которая расположена в первой координатной четверти и проходит, например, через точки (5; 1) и (20; 2).

2) Чтобы построить график функции $y = \sqrt{-2x}$, выполним следующие действия:

Шаг 1: Нахождение области определения.
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$-2x \ge 0$
Разделив обе части на -2 (при этом знак неравенства меняется на противоположный), получаем:
$x \le 0$
Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0]$. Это означает, что график функции будет располагаться в левой полуплоскости относительно оси OY, включая саму ось.

Шаг 2: Нахождение области значений.
Арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$.
Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции будет располагаться в верхней полуплоскости относительно оси OX, включая саму ось.
Из шагов 1 и 2 следует, что весь график находится во второй координатной четверти.

Шаг 3: Нахождение ключевых точек.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек. Будем выбирать такие неположительные значения $x$, при которых подкоренное выражение $-2x$ является полным квадратом.
- Если $x = 0$, то $y = \sqrt{-2 \cdot 0} = 0$. Получаем точку (0; 0). Это начальная точка графика.
- Если $x = -2$, то $y = \sqrt{-2 \cdot (-2)} = \sqrt{4} = 2$. Получаем точку (-2; 2).
- Если $x = -4.5$, то $y = \sqrt{-2 \cdot (-4.5)} = \sqrt{9} = 3$. Получаем точку (-4.5; 3).
- Если $x = -8$, то $y = \sqrt{-2 \cdot (-8)} = \sqrt{16} = 4$. Получаем точку (-8; 4).

Шаг 4: Построение графика.
График функции $y = \sqrt{-2x}$ — это ветвь параболы $x = -\frac{y^2}{2}$ (при $y \ge 0$). Он начинается в точке (0; 0) и плавно поднимается влево и вверх, проходя через вычисленные точки. Этот график можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путем отражения относительно оси OY и последующего преобразования. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-2x}$ является ветвью параболы с вершиной в начале координат (0; 0), которая расположена во второй координатной четверти и проходит, например, через точки (-2; 2) и (-8; 4).