Номер 2.4, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.4. Постройте график функции:

1) $y = (3x + 2)^2 - 1$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}x + 1\right)^2 - 1.$

1) $y = (3x + 2)^2 - 1$

График данной функции – это парабола. Для ее построения преобразуем уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ – координаты вершины параболы.

Вынесем коэффициент 3 за скобки внутри выражения в квадрате:
$y = (3(x + \frac{2}{3}))^2 - 1 = 3^2(x + \frac{2}{3})^2 - 1 = 9(x - (-\frac{2}{3}))^2 - 1$.

Из этого вида уравнения можно определить характеристики параболы:

• Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0; y_0) = (-\frac{2}{3}; -1)$.
• Коэффициент $a = 9$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $|a| > 1$, парабола является "узкой", то есть она сжата к оси OY по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Алгоритм построения графика функции $y = (3x+2)^2-1$ путем преобразований графика $y=x^2$:

1. Построить график базовой параболы $y=x^2$.
2. Сжать его вдоль оси OX в 3 раза (что эквивалентно растяжению вдоль оси OY в 9 раз) для получения графика $y=(3x)^2 = 9x^2$.
3. Сдвинуть полученный график влево вдоль оси OX на $\frac{2}{3}$ единицы, чтобы получить график $y = 9(x + \frac{2}{3})^2$.
4. Сдвинуть полученный график вниз вдоль оси OY на 1 единицу, чтобы получить искомый график $y = 9(x + \frac{2}{3})^2 - 1$.

Для большей точности найдем точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью OY (для этого подставляем $x=0$):
  $y = (3 \cdot 0 + 2)^2 - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
  Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.
• Пересечение с осью OX (для этого подставляем $y=0$):
  $0 = (3x + 2)^2 - 1 \implies (3x + 2)^2 = 1$.
  Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
  $3x + 2 = 1$ или $3x + 2 = -1$.
  $3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.
  $3x = -3 \implies x = -1$.
  Точки пересечения с осью OX: $(-\frac{1}{3}; 0)$ и $(-1; 0)$.

Ответ: График функции $y = (3x+2)^2-1$ – это парабола с вершиной в точке $(-\frac{2}{3}; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 3)$ и ось OX в точках $(-1; 0)$ и $(-\frac{1}{3}; 0)$.

2) $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1$

График этой функции также является параболой. Приведем уравнение к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

Вынесем коэффициент $\frac{1}{3}$ за скобки:
$y = (\frac{1}{3}(x + 3))^2 - 1 = (\frac{1}{3})^2(x + 3)^2 - 1 = \frac{1}{9}(x - (-3))^2 - 1$.

Из этого уравнения следует:

• Вершина параболы находится в точке с координатами $(x_0; y_0) = (-3; -1)$.
• Коэффициент $a = \frac{1}{9}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $0 < |a| < 1$, парабола является "широкой", то есть она растянута от оси OY по сравнению с базовой параболой $y = x^2$.

Алгоритм построения графика функции $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1$ путем преобразований графика $y=x^2$:

1. Построить график базовой параболы $y=x^2$.
2. Растянуть его вдоль оси OX в 3 раза (что эквивалентно сжатию вдоль оси OY в 9 раз) для получения графика $y=(\frac{1}{3}x)^2 = \frac{1}{9}x^2$.
3. Сдвинуть полученный график влево вдоль оси OX на 3 единицы, чтобы получить график $y = \frac{1}{9}(x + 3)^2$.
4. Сдвинуть полученный график вниз вдоль оси OY на 1 единицу, чтобы получить искомый график $y = \frac{1}{9}(x + 3)^2 - 1$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

• Пересечение с осью OY (подставляем $x=0$):
  $y = (\frac{1}{3} \cdot 0 + 1)^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0$.
  Точка пересечения с осью OY: $(0; 0)$ (начало координат).
• Пересечение с осью OX (подставляем $y=0$):
  $0 = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1 \implies (\frac{1}{3}x + 1)^2 = 1$.
  Извлекаем квадратный корень:
  $\frac{1}{3}x + 1 = 1$ или $\frac{1}{3}x + 1 = -1$.
  $\frac{1}{3}x = 0 \implies x = 0$.
  $\frac{1}{3}x = -2 \implies x = -6$.
  Точки пересечения с осью OX: $(0; 0)$ и $(-6; 0)$.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3}x + 1)^2 - 1$ – это парабола с вершиной в точке $(-3; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола проходит через начало координат $(0; 0)$ и пересекает ось OX также в точке $(-6; 0)$.