Номер 2.9, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.9. Постройте график функции:

1) $y=2\sqrt{3x-1}+1$;

2) $y=3(2x+1)^2-2$.

1) Построим график функции $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$.

Данный график можно получить путем преобразований из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x - 1 \ge 0$ $3x \ge 1$ $x \ge \frac{1}{3}$ Следовательно, область определения функции: $D(y) = [\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Нахождение начальной точки графика. График начинается в точке, где $x$ принимает минимальное значение из ОДЗ, то есть $x = \frac{1}{3}$. Найдем соответствующее значение $y$: $y(\frac{1}{3}) = 2\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} + 1 = 2\sqrt{1 - 1} + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Таким образом, начальная точка графика имеет координаты $(\frac{1}{3}; 1)$.

3. Нахождение нескольких дополнительных точек. Для более точного построения найдем еще несколько точек, выбирая значения $x$ так, чтобы извлекался целый корень.

   • Пусть $3x - 1 = 1$. Тогда $3x = 2$, $x = \frac{2}{3}$. $y = 2\sqrt{1} + 1 = 2 + 1 = 3$. Точка $(\frac{2}{3}; 3)$.
   • Пусть $3x - 1 = 4$. Тогда $3x = 5$, $x = \frac{5}{3}$. $y = 2\sqrt{4} + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Точка $(\frac{5}{3}; 5)$.
   • Пусть $3x - 1 = 9$. Тогда $3x = 10$, $x = \frac{10}{3}$. $y = 2\sqrt{9} + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Точка $(\frac{10}{3}; 7)$.

4. Описание построения. График функции $y = 2\sqrt{3x - 1} + 1$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{3}; 1)$ и проходящая через точки $(\frac{2}{3}; 3)$, $(\frac{5}{3}; 5)$, $(\frac{10}{3}; 7)$. Его можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ следующими преобразованиями:
   1. Сжатие к оси OY в 3 раза ($y=\sqrt{3x}$).
   2. Сдвиг вправо на $\frac{1}{3}$ ($y=\sqrt{3(x-\frac{1}{3})}$).
   3. Растяжение вдоль оси OY в 2 раза ($y=2\sqrt{3x-1}$).
   4. Сдвиг вверх на 1 ($y=2\sqrt{3x-1}+1$).

Ответ: График функции представляет собой ветвь параболы с началом в точке $(\frac{1}{3}; 1)$ и проходящую, например, через точки $(\frac{2}{3}; 3)$ и $(\frac{5}{3}; 5)$, направленную вверх и вправо.

2) Построим график функции $y = 3(2x + 1)^2 - 2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

1. Нахождение вершины параболы. Вынесем 2 за скобки внутри квадрата: $y = 3(2(x + \frac{1}{2}))^2 - 2 = 3 \cdot 2^2(x + \frac{1}{2})^2 - 2 = 12(x - (-\frac{1}{2}))^2 - 2$. Из этого вида следует, что координаты вершины параболы: $(h; k) = (-\frac{1}{2}; -2)$.

2. Определение направления ветвей. Коэффициент при квадрате $a = 12$ положителен ($12 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

   • Пересечение с осью OY (осью ординат): подставим $x = 0$. $y(0) = 3(2 \cdot 0 + 1)^2 - 2 = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка пересечения с осью OY: $(0; 1)$.

   • Пересечение с осью OX (осью абсцисс): подставим $y = 0$. $0 = 3(2x + 1)^2 - 2$ $3(2x + 1)^2 = 2$ $(2x + 1)^2 = \frac{2}{3}$ $2x + 1 = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}$ $2x = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$ $x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$. Точки пересечения с осью OX: $(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6}; 0)$ и $(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}; 0)$.

4. Нахождение симметричной точки. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -\frac{1}{2}$. Точка $(0; 1)$ находится на расстоянии $\frac{1}{2}$ от оси симметрии. Симметричная ей точка будет иметь ту же ординату $y=1$ и абсциссу $x = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$. Точка, симметричная точке пересечения с OY: $(-1; 1)$.

5. Описание построения. Для построения графика отмечаем вершину $(-\frac{1}{2}; -2)$, точку пересечения с осью OY $(0; 1)$ и симметричную ей точку $(-1; 1)$. Через эти три точки проводим параболу, ветви которой направлены вверх.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}; -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 1)$.