Номер 2.3, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.3. Постройте график функции:

1) $y = (2x - 1)^2 - 4;$

2) $y = \left(\frac{1}{2}x - 1\right)^2 - 4.$

1) $y = (2x - 1)^2 - 4$

Для построения графика данной функции, мы будем использовать метод преобразований графика базовой функции $y = x^2$. Данная функция является квадратичной, её график — парабола.

Преобразуем уравнение к стандартному виду $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.
$y = (2x - 1)^2 - 4 = (2(x - \frac{1}{2}))^2 - 4 = 2^2(x - \frac{1}{2})^2 - 4 = 4(x - \frac{1}{2})^2 - 4$.

Из полученного уравнения видно, что график функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{1}{2}$ единицы.
2. Растяжение вдоль оси Oy в 4 раза (ветви параболы станут "уже").
3. Сдвиг вниз по оси Oy на 4 единицы.

Найдем ключевые точки для построения графика:
Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$ равны $(\frac{1}{2}, -4)$.
Ось симметрии: Прямая $x = h$, то есть $x = \frac{1}{2}$.
Пересечение с осью Oy: Для этого подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = (2 \cdot 0 - 1)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): Для этого приравняем $y$ к нулю:
$(2x - 1)^2 - 4 = 0$
$(2x - 1)^2 = 4$
$2x - 1 = 2$ или $2x - 1 = -2$
$2x = 3 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$
$2x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$
Точки пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость вершину $(\frac{1}{2}, -4)$, точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(1.5, 0)$, $(-0.5, 0)$ и проведем через них параболу, симметричную относительно прямой $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: Графиком функции $y = (2x - 1)^2 - 4$ является парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = \frac{1}{2}$. Точки пересечения с осями координат: $(0, -3)$, $(1.5, 0)$ и $(-0.5, 0)$.

2) $y = (\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4$

Аналогично первому пункту, построим график этой функции, преобразуя базовую параболу $y = x^2$.

Приведем уравнение к виду $y = a(x - h)^2 + k$:
$y = (\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4 = (\frac{1}{2}(x - 2))^2 - 4 = (\frac{1}{2})^2(x - 2)^2 - 4 = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 4$.

График этой функции можно получить из графика $y = x^2$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг вправо по оси Ox на 2 единицы.
2. Сжатие вдоль оси Oy в 4 раза (или растяжение с коэффициентом $\frac{1}{4}$, ветви параболы станут "шире").
3. Сдвиг вниз по оси Oy на 4 единицы.

Найдем ключевые точки для построения графика:
Вершина параболы: Координаты вершины $(h, k)$ равны $(2, -4)$.
Ось симметрии: Прямая $x = h$, то есть $x = 2$.
Пересечение с осью Oy: Подставим $x=0$ в уравнение:
$y = (\frac{1}{2} \cdot 0 - 1)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции): Приравняем $y$ к нулю:
$(\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4 = 0$
$(\frac{1}{2}x - 1)^2 = 4$
$\frac{1}{2}x - 1 = 2$ или $\frac{1}{2}x - 1 = -2$
$\frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x_1 = 6$
$\frac{1}{2}x = -1 \Rightarrow x_2 = -2$
Точки пересечения с осью Ox: $(6, 0)$ и $(-2, 0)$.

Для построения графика нанесем на координатную плоскость вершину $(2, -4)$, точки пересечения с осями $(0, -3)$, $(6, 0)$, $(-2, 0)$ и проведем через них параболу, симметричную относительно прямой $x = 2$.

Ответ: Графиком функции $y = (\frac{1}{2}x - 1)^2 - 4$ является парабола с вершиной в точке $(2, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = 2$. Точки пересечения с осями координат: $(0, -3)$, $(6, 0)$ и $(-2, 0)$.