Вопрос, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Как можно построить график функции $y = f(kx)$, используя график функции $y = f(x)$, если $k > 0$? $k = -1$? $k < 0$?

k > 0?

Чтобы построить график функции $y=f(kx)$ из графика функции $y=f(x)$ при $k>0$, необходимо выполнить преобразование, которое называется горизонтальным сжатием или растяжением графика относительно оси ординат (оси OY).

Рассмотрим произвольную точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $y=f(x)$. Это означает, что $y_0 = f(x_0)$. Для того чтобы найти соответствующую точку $(x_1, y_1)$ на графике функции $y=f(kx)$, нужно, чтобы выполнялось равенство $y_1=f(kx_1)$. Если мы хотим найти точку на новом графике с той же ординатой $y_1=y_0$, то должно выполняться $f(kx_1) = f(x_0)$. Отсюда следует, что $kx_1 = x_0$, или $x_1 = \frac{x_0}{k}$.

Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(\frac{x_0}{k}, y_0)$ нового графика. Все абсциссы точек графика делятся на коэффициент $k$.

• Если $k > 1$, то происходит сжатие графика к оси OY в $k$ раз.
• Если $0 < k < 1$, то происходит растяжение графика от оси OY в $\frac{1}{k}$ раз.

Ответ: Для построения графика функции $y=f(kx)$ из графика $y=f(x)$ при $k>0$ необходимо выполнить горизонтальное масштабирование графика относительно оси OY с коэффициентом $\frac{1}{k}$. Если $k>1$, это сжатие в $k$ раз; если $0<k<1$, это растяжение в $\frac{1}{k}$ раз.

k = -1?

При $k=-1$ функция принимает вид $y=f(-x)$.

Возьмем точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $y=f(x)$, так что $y_0 = f(x_0)$. Соответствующая точка $(x_1, y_1)$ на графике $y=f(-x)$ должна удовлетворять уравнению $y_1=f(-x_1)$. При $y_1=y_0$ имеем $f(-x_1)=f(x_0)$, откуда $-x_1 = x_0$, то есть $x_1 = -x_0$.

Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(-x_0, y_0)$. Такое преобразование является симметричным отражением (или зеркальным отображением) графика относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: Чтобы построить график функции $y=f(-x)$, нужно отразить график функции $y=f(x)$ симметрично относительно оси OY.

k < 0?

Этот случай является комбинацией двух предыдущих. Пусть $k < 0$. Мы можем представить $k$ как $-m$, где $m = -k = |k| > 0$. Тогда функция записывается в виде $y=f(kx) = f(-mx)$.

Построение графика можно разбить на два последовательных шага:

1. Сначала строим график функции $y=f(mx)$ из графика $y=f(x)$. Так как $m = |k| > 0$, это преобразование является горизонтальным масштабированием (сжатием или растяжением) относительно оси OY с коэффициентом $\frac{1}{m} = \frac{1}{|k|}$, как описано в первом пункте.
2. Затем строим график функции $y=f(-mx)$ из полученного на первом шаге графика $y=f(mx)$. Это преобразование, как описано во втором пункте, представляет собой симметричное отражение относительно оси OY.

Следовательно, для построения графика $y=f(kx)$ при $k<0$ нужно выполнить два преобразования над графиком $y=f(x)$: сначала сжать или растянуть его по горизонтали в $|k|$ раз, а затем отразить полученный график симметрично относительно оси OY.

Ответ: Для построения графика функции $y=f(kx)$ при $k<0$ необходимо выполнить горизонтальное масштабирование графика $y=f(x)$ с коэффициентом $\frac{1}{|k|}$ (сжатие к оси OY, если $|k|>1$; растяжение от оси OY, если $0<|k|<1$), а затем полученный график симметрично отразить относительно оси OY.