Номер 1.49, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.49. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x - 3}$;

2) $y = \sqrt{x - 3}$;

3) $y = \sqrt{x - 2} + 1$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Эта функция определена для всех неотрицательных значений $x$, то есть ее область определения $D(y): x \in [0; +\infty)$. Область значений $E(y): y \in [0; +\infty)$.

Найдем несколько ключевых точек для построения графика, выбирая значения $x$, из которых легко извлечь квадратный корень:

• Если $x=0$, то $y = \sqrt{0} = 0$. Точка (0; 0).
• Если $x=1$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка (1; 1).
• Если $x=4$, то $y = \sqrt{4} = 2$. Точка (4; 2).
• Если $x=9$, то $y = \sqrt{9} = 3$. Точка (9; 3).

График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке (0; 0) и плавно поднимается вправо. Все остальные графики будут получены путем преобразования этого базового графика.

1) $y = \sqrt{x} - 3$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x} - 3$, нужно использовать график функции $y = \sqrt{x}$ и выполнить преобразование вида $y = f(x) - c$. В данном случае $c=3$. Это означает, что весь график функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть параллельно оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x, y-3)$.

Ключевые точки нового графика:

• (0; 0) $\rightarrow$ (0; 0-3) = (0; -3)
• (1; 1) $\rightarrow$ (1; 1-3) = (1; -2)
• (4; 2) $\rightarrow$ (4; 2-3) = (4; -1)
• (9; 3) $\rightarrow$ (9; 3-3) = (9; 0)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вниз.

2) $y = \sqrt{x - 3}$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x - 3}$, нужно использовать график функции $y = \sqrt{x}$ и выполнить преобразование вида $y = f(x-b)$. В данном случае $b=3$. Это означает, что весь график функции $y = \sqrt{x}$ необходимо сдвинуть параллельно оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо.

Область определения функции: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Это подтверждает сдвиг вправо.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x+3, y)$.

Ключевые точки нового графика:

• (0; 0) $\rightarrow$ (0+3; 0) = (3; 0)
• (1; 1) $\rightarrow$ (1+3; 1) = (4; 1)
• (4; 2) $\rightarrow$ (4+3; 2) = (7; 2)
• (9; 3) $\rightarrow$ (9+3; 3) = (12; 3)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 3}$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы вправо.

3) $y = \sqrt{x - 2} + 1$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x-2} + 1$, нужно выполнить два последовательных преобразования графика $y = \sqrt{x}$:

1. Сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (преобразование $y = \sqrt{x-2}$).
2. Сдвиг на 1 единицу вверх вдоль оси Oy (преобразование $y = \sqrt{x-2} + 1$).

Это комбинированное преобразование вида $y = f(x-b)+c$, где $b=2$ и $c=1$. Начало графика, точка (0;0), смещается в точку (2;1).

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика смещается в точку $(x+2, y+1)$.

Ключевые точки нового графика:

• (0; 0) $\rightarrow$ (0+2; 0+1) = (2; 1)
• (1; 1) $\rightarrow$ (1+2; 1+1) = (3; 2)
• (4; 2) $\rightarrow$ (4+2; 2+1) = (6; 3)
• (9; 3) $\rightarrow$ (9+2; 3+1) = (11; 4)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-2} + 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.