Номер 1.48, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.48. Постройте график функции $y = x^2$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = x^2 - 2$;

2) $y = (x + 3)^2$;

3) $y = (x - 3)^2 + 1$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. График симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Для точного построения составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим параболу $y = x^2$. Этот график будет служить основой для построения графиков заданных функций с помощью геометрических преобразований.

1)

График функции $y = x^2 - 2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Такое преобразование описывается формулой $y = f(x) + c$, где в нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -2$.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перемещается в точку $(x, y - 2)$. Таким образом, вершина параболы из точки $(0, 0)$ смещается в точку $(0, 0 - 2)$, то есть в $(0, -2)$. Форма параболы при этом не изменяется.

Ответ: График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Вершина новой параболы находится в точке $(0, -2)$.

2)

График функции $y = (x + 3)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$. Такое преобразование описывается формулой $y = f(x + a)$, где $f(x) = x^2$ и $a = 3$.

Если $a > 0$, сдвиг происходит на $a$ единиц влево. Следовательно, мы сдвигаем график $y = x^2$ на 3 единицы влево.

Каждая точка $(x, y)$ исходного графика перемещается в точку $(x - 3, y)$. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ смещается в точку $(0 - 3, 0)$, то есть в $(-3, 0)$. Осью симметрии новой параболы будет прямая $x = -3$.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Вершина новой параболы находится в точке $(-3, 0)$.

3)

График функции $y = (x - 3)^2 + 1$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью двух последовательных параллельных переносов: по горизонтали и по вертикали. Это преобразование вида $y = f(x - b) + c$, где $b = 3$ и $c = 1$.

Сначала выполним сдвиг по горизонтали. Выражение $(x - 3)$ соответствует сдвигу графика $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Затем выполним сдвиг по вертикали. Прибавление константы $1$ соответствует сдвигу полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Таким образом, мы сдвигаем параболу $y = x^2$ на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Вершина параболы, которая была в точке $(0, 0)$, смещается в точку $(0 + 3, 0 + 1)$, то есть в $(3, 1)$.

Ответ: График функции $y = (x - 3)^2 + 1$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат. Вершина новой параболы находится в точке $(3, 1)$.