Номер 1.42, страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.42. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+2}$;

2) $f(x) = 7 - x^2$;

3) $f(x) = -6$;

4) $f(x) = |x| - 3$;

5) $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{1-x}$;

6) $f(x) = x^2 + 4x + 8$.

1) $f(x) = \sqrt{x+2}$

Область значений функции (обозначается $E(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать функция. Функция $f(x) = \sqrt{x+2}$ является арифметическим квадратным корнем, значение которого по определению всегда неотрицательно. Следовательно, $f(x) \ge 0$. Наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении подкоренного выражения. Область определения функции задается условием $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. При $x=-2$, $f(-2) = \sqrt{-2+2} = \sqrt{0} = 0$. Это минимальное значение функции. При увеличении $x$ в его области определения, значение $\sqrt{x+2}$ неограниченно возрастает. Таким образом, функция принимает все значения от 0 включительно и выше.

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.

2) $f(x) = 7 - x^2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен. Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$. Умножив на -1, получаем $-x^2 \le 0$. Прибавив 7 к обеим частям неравенства, получаем: $f(x) = 7 - x^2 \le 7$. Максимальное значение функции равно 7 и достигается при $x=0$. Так как ветви параболы уходят в минус бесконечность, функция принимает все значения, меньшие или равные 7.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 7]$.

3) $f(x) = -6$

Это постоянная (константная) функция. Для любого действительного числа $x$ значение функции всегда равно -6. Следовательно, область значений состоит из одного-единственного числа.

Ответ: $E(f) = \{-6\}$.

4) $f(x) = |x| - 3$

Значение модуля $|x|$ всегда неотрицательно: $|x| \ge 0$. Вычитая 3 из обеих частей этого неравенства, получаем: $f(x) = |x| - 3 \ge -3$. Наименьшее значение функции равно -3 и достигается при $x=0$. При неограниченном увеличении $|x|$ значение функции также неограниченно возрастает.

Ответ: $E(f) = [-3; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{1-x}$

Для нахождения области значений сначала определим область определения функции $D(f)$. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе условий: $x-1 \ge 0$ и $1-x \ge 0$. Из первого неравенства следует $x \ge 1$, а из второго $x \le 1$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это $x=1$. Таким образом, область определения функции состоит из одной точки: $D(f) = \{1\}$. Чтобы найти область значений $E(f)$, нужно вычислить значение функции в этой единственной точке: $f(1) = \sqrt{1-1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

6) $f(x) = x^2 + 4x + 8$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен. Наименьшее значение функция достигает в вершине параболы. Найдем его, выделив полный квадрат: $f(x) = x^2 + 4x + 4 + 4 = (x^2 + 4x + 4) + 4 = (x+2)^2 + 4$. Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно: $(x+2)^2 \ge 0$. Следовательно, $f(x) = (x+2)^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$. Наименьшее значение функции равно 4. Оно достигается при $x=-2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения, большие или равные 4.

Ответ: $E(f) = [4; +\infty)$.