Страница 14 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.38. Укажите на рисунке 1.14 фигуру, которая не может служить графиком функции.

Рис. 1.14

a

$y$

$x$

$0$

б

$y$

$x$

$0$

в

$y$

$x$

$0$

г

$y$

$x$

$0$

Для того чтобы определить, какая из фигур не может служить графиком функции, воспользуемся определением функции. Функция — это такое правило или закон, по которому каждому значению независимой переменной $x$ из некоторого множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

Геометрически это свойство можно проверить с помощью теста вертикальной прямой: кривая на координатной плоскости является графиком функции тогда и только тогда, когда любая вертикальная прямая пересекает её не более чем в одной точке. Проанализируем каждую из представленных фигур с помощью этого теста.

а На данном рисунке изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат. Любая вертикальная прямая вида $x=c$ (где $c$ — константа из области определения) пересекает эту кривую не более чем в одной точке. Следовательно, данная фигура является графиком функции (например, $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ для некоторого радиуса $R>0$).

б На этом рисунке изображена нижняя полуокружность. Как и в предыдущем случае, любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке. Эта фигура также является графиком функции (например, $y = -\sqrt{R^2 - x^2}$).

в На этом рисунке изображена правая полуокружность, ось симметрии которой — ось абсцисс. Если провести вертикальную прямую, например $x=c$ для любого $c$ из интервала $(0, R)$, то она пересечет график в двух точках: с положительной и отрицательной ординатой. Это означает, что одному значению аргумента $x$ соответствует два различных значения $y$, что противоречит определению функции. Таким образом, эта фигура не может служить графиком функции.

г Этот график состоит из двух дуг. Важно заметить, что при $x=0$ нижняя точка на оси $y$ является «выколотой» (обозначена пустым кружком), то есть не принадлежит графику, в то время как верхняя точка принадлежит ему. Таким образом, для $x=0$ существует единственное значение $y$. Для всех остальных значений $x$ из области определения вертикальная прямая также пересекает график ровно в одной точке. Следовательно, эта фигура является графиком функции.

Исходя из проведенного анализа, единственная фигура, которая не проходит тест вертикальной прямой и, следовательно, не может быть графиком функции, — это фигура, изображенная на рисунке в.

Ответ: в.

1.39. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{9}{x + 4}$;

2) $f(x) = \frac{x - 6}{4}$;

3) $f(x) = \sqrt{x - 7}$;

4) $f(x) = \frac{10}{\sqrt{-x - 1}}$;

5) $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x - 7}$;

6) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x}$;

7) $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}$;

8) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{12 + 4x - x^2}}$;

9) $f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1}$;

10) $f(x) = \sqrt{x - \sqrt{-x}}$.

1) Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция $f(x) = \frac{9}{x+4}$ представляет собой дробь. Основное ограничение для дробей — знаменатель не может быть равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение $x$:
$x + 4 = 0$
$x = -4$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \frac{x-6}{4}$ является линейной функцией, так как ее можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{4}x - \frac{6}{4}$. В знаменателе стоит константа 4, которая не равна нулю. Других ограничений, таких как корни или логарифмы, в функции нет. Поэтому функция определена для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \sqrt{x-7}$ содержит квадратный корень. Выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.
$x - 7 \geq 0$
$x \geq 7$
Таким образом, область определения — это все числа, большие или равные 7.
Ответ: $x \in [7; +\infty)$.

4) Функция $f(x) = \frac{10}{\sqrt{-x-1}}$ имеет два ограничения. Во-первых, подкоренное выражение не может быть отрицательным. Во-вторых, знаменатель не может быть равен нулю. Поскольку квадратный корень находится в знаменателе, эти два условия объединяются в одно: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$-x - 1 > 0$
$-x > 1$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x < -1$
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x - 7}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x^2 + 6x - 7 \geq 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -7$. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.
Графиком функции $y = x^2 + 6x - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \geq 0$ выполняется на участках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
$x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)$.

6) В функции $f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2 - 5x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 5) \neq 0$
Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен нулю.
$x \neq 0$ и $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$ является суммой двух квадратных корней. Для ее определения необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} x \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $1 \geq x$, или $x \leq 1$.
Область определения — это пересечение множеств решений $x \geq 0$ и $x \leq 1$, что дает отрезок $0 \leq x \leq 1$.
Ответ: $x \in [0; 1]$.

8) В функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{12+4x-x^2}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.
$12 + 4x - x^2 > 0$
Для удобства умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 4x - 12 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Графиком $y = x^2 - 4x - 12$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
$-2 < x < 6$.
Ответ: $x \in (-2; 6)$.

9) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-1}$ имеет два ограничения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases}$
Из первого условия следует $x \geq 1$. Второе условие исключает значение $x=1$. Объединив эти условия, получаем, что $x$ должен быть строго больше 1.
$x > 1$.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

10) Функция $f(x) = \sqrt{x} - \sqrt{-x}$ определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны.
$\begin{cases} x \geq 0 \\ -x \geq 0 \end{cases}$
Решая второе неравенство, получаем $x \leq 0$.
Необходимо найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям: $x \geq 0$ и $x \leq 0$. Единственное такое число — это $x=0$.
Следовательно, область определения состоит из одной точки.
Ответ: $\{0\}$.

1.40. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0.4x - 8;$

2) $g(x) = 28 + 3x - x^2;$

3) $h(x) = \sqrt{x + 4};$

4) $\varphi(x) = \frac{x^2 + x - 30}{x + 5};$

5) $f(x) = x^3 - 9x;$

6) $g(x) = x^2 + 4.$

1) Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,4x - 8$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$0,4x - 8 = 0$

$0,4x = 8$

$x = \frac{8}{0,4}$

$x = 20$

Ответ: 20.

2) Чтобы найти нули функции $g(x) = 28 + 3x - x^2$, необходимо решить уравнение $g(x) = 0$.

$28 + 3x - x^2 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 11}{2}$

$x_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Ответ: -4; 7.

3) Чтобы найти нули функции $h(x) = \sqrt{x+4}$, необходимо решить уравнение $h(x) = 0$.

$\sqrt{x+4} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+4})^2 = 0^2$

$x+4 = 0$

$x = -4$

Данное значение $x=-4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

4) Чтобы найти нули функции $\varphi(x) = \frac{x^2+x-30}{x+5}$, необходимо приравнять числитель дроби к нулю, при этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Определим ОДЗ: $x+5 \ne 0 \implies x \ne -5$.

Теперь решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$x^2+x-30 = 0$

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-30$.

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -30$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne -5$), поэтому оба являются нулями функции.

Ответ: -6; 5.

5) Чтобы найти нули функции $f(x) = x^3 - 9x$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$x^3 - 9x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x=0$ или $x^2 - 9 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x=3$ или $x=-3$.

Таким образом, функция имеет три нуля.

Ответ: -3; 0; 3.

6) Чтобы найти нули функции $g(x) = x^2+4$, необходимо решить уравнение $g(x) = 0$.

$x^2+4=0$

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нулей нет.

1.41. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = -7x + 3$;

2) $y = x^2 - 8x + 16$;

3) $y = \frac{6}{4 - x}$;

4) $y = -x^2 - 1$;

5) $y = 3x^2 - 7x + 4$;

6) $y = -2x^2 + 3x - 1$.

1) Для функции $y = -7x + 3$ найдем нули, решив уравнение $-7x + 3 = 0$. Получаем $7x = 3$, откуда $x = \frac{3}{7}$. Это линейная убывающая функция, так как коэффициент при $x$ отрицателен ($-7 < 0$). Следовательно, функция положительна ($y > 0$) при значениях $x$ левее корня и отрицательна ($y < 0$) при значениях $x$ правее корня.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{3}{7})$; $y < 0$ при $x \in (\frac{3}{7}; +\infty)$.

2) Функция $y = x^2 - 8x + 16$ представляет собой полный квадрат: $y = (x - 4)^2$. Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для любых действительных $x$. Функция обращается в нуль в точке $x = 4$. Во всех остальных точках ($x \neq 4$) функция строго положительна.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$; нет значений $x$, при которых $y < 0$.

3) Для функции $y = \frac{6}{4 - x}$ область определения — все действительные числа, кроме $x = 4$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Нулей у функции нет, поскольку числитель 6 отличен от нуля. Знак функции зависит от знака знаменателя $4 - x$.
Если $x < 4$, то $4 - x > 0$, и $y = \frac{6}{+} > 0$.
Если $x > 4$, то $4 - x < 0$, и $y = \frac{6}{-} < 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 4)$; $y < 0$ при $x \in (4; +\infty)$.

4) В функции $y = -x^2 - 1$ выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Следовательно, $-x^2 \le 0$, а $-x^2 - 1 \le -1$. Это означает, что значение функции всегда отрицательно для любого действительного $x$ и никогда не бывает положительным или равным нулю.
Ответ: нет значений $x$, при которых $y > 0$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) Для квадратичной функции $y = 3x^2 - 7x + 4$ найдем ее нули, решив уравнение $3x^2 - 7x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $3 > 0$). Следовательно, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна на интервале между корнями.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (\frac{4}{3}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; \frac{4}{3})$.

6) Для квадратичной функции $y = -2x^2 + 3x - 1$ найдем ее нули, решив уравнение $-2x^2 + 3x - 1 = 0$. Для удобства умножим на $-1$: $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$). Следовательно, функция положительна на интервале между корнями и отрицательна вне интервала между корнями.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (\frac{1}{2}; 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.

1.42. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+2}$;

2) $f(x) = 7 - x^2$;

3) $f(x) = -6$;

4) $f(x) = |x| - 3$;

5) $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{1-x}$;

6) $f(x) = x^2 + 4x + 8$.

1) $f(x) = \sqrt{x+2}$

Область значений функции (обозначается $E(f)$) — это множество всех значений, которые может принимать функция. Функция $f(x) = \sqrt{x+2}$ является арифметическим квадратным корнем, значение которого по определению всегда неотрицательно. Следовательно, $f(x) \ge 0$. Наименьшее значение достигается при наименьшем возможном значении подкоренного выражения. Область определения функции задается условием $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. При $x=-2$, $f(-2) = \sqrt{-2+2} = \sqrt{0} = 0$. Это минимальное значение функции. При увеличении $x$ в его области определения, значение $\sqrt{x+2}$ неограниченно возрастает. Таким образом, функция принимает все значения от 0 включительно и выше.

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.

2) $f(x) = 7 - x^2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен. Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$. Умножив на -1, получаем $-x^2 \le 0$. Прибавив 7 к обеим частям неравенства, получаем: $f(x) = 7 - x^2 \le 7$. Максимальное значение функции равно 7 и достигается при $x=0$. Так как ветви параболы уходят в минус бесконечность, функция принимает все значения, меньшие или равные 7.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 7]$.

3) $f(x) = -6$

Это постоянная (константная) функция. Для любого действительного числа $x$ значение функции всегда равно -6. Следовательно, область значений состоит из одного-единственного числа.

Ответ: $E(f) = \{-6\}$.

4) $f(x) = |x| - 3$

Значение модуля $|x|$ всегда неотрицательно: $|x| \ge 0$. Вычитая 3 из обеих частей этого неравенства, получаем: $f(x) = |x| - 3 \ge -3$. Наименьшее значение функции равно -3 и достигается при $x=0$. При неограниченном увеличении $|x|$ значение функции также неограниченно возрастает.

Ответ: $E(f) = [-3; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{1-x}$

Для нахождения области значений сначала определим область определения функции $D(f)$. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе условий: $x-1 \ge 0$ и $1-x \ge 0$. Из первого неравенства следует $x \ge 1$, а из второго $x \le 1$. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно, — это $x=1$. Таким образом, область определения функции состоит из одной точки: $D(f) = \{1\}$. Чтобы найти область значений $E(f)$, нужно вычислить значение функции в этой единственной точке: $f(1) = \sqrt{1-1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0$.

Ответ: $E(f) = \{0\}$.

6) $f(x) = x^2 + 4x + 8$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен. Наименьшее значение функция достигает в вершине параболы. Найдем его, выделив полный квадрат: $f(x) = x^2 + 4x + 4 + 4 = (x^2 + 4x + 4) + 4 = (x+2)^2 + 4$. Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно: $(x+2)^2 \ge 0$. Следовательно, $f(x) = (x+2)^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$. Наименьшее значение функции равно 4. Оно достигается при $x=-2$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения, большие или равные 4.

Ответ: $E(f) = [4; +\infty)$.