Страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.2. На рисунке 1.11 изображён график функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-4; 4]$. Пользуясь графиком, найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

1) $[-3; -2]; 2) $[-3; -1]; 3) $[-3; 1]$.

Рис. 1.11

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданных промежутках будем использовать её график, определяя самую высокую и самую низкую точки кривой в пределах указанных отрезков по оси $x$.

1) На промежутке $[-3; -2]$.
Найдём на оси $x$ отрезок от -3 до -2. Часть графика, соответствующая этому отрезку, показывает, что функция убывает. Наибольшее значение достигается в левой точке отрезка: при $x = -3$ значение функции $g(-3) = 0$. Наименьшее значение достигается в правой точке отрезка: при $x = -2$ значение функции $g(-2) = -1$.
Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -1.

2) На промежутке $[-3; -1]$.
Рассмотрим часть графика на отрезке $x \in [-3; -1]$. На этом участке функция сначала убывает от $x = -3$ до $x = -2$, а затем возрастает от $x = -2$ до $x = -1$. Самая высокая точка на этом отрезке соответствует значению $y=0$, которое достигается в точках $x = -3$ и $x = -1$. Самая низкая точка на этом отрезке — это локальный минимум в точке $x = -2$, где значение функции $g(-2) = -1$.
Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -1.

3) На промежутке $[-3; 1]$.
Рассмотрим часть графика на отрезке $x \in [-3; 1]$. На этом промежутке находятся точка локального минимума ($x = -2$) и точка локального максимума ($x = 0$). Сравним значения функции в этих точках, а также на концах отрезка:

• На левом конце отрезка: $g(-3) = 0$.
• В точке локального минимума: $g(-2) = -1$.
• В точке локального максимума: $g(0) = 3$.
• На правом конце отрезка: $g(1) = 2$.

Сравнивая полученные значения (0, -1, 3, 2), видим, что наибольшее значение на данном отрезке равно 3, а наименьшее равно -1.
Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -1.

1.3. Известно, что $f(7) = -16$. Найдите $f(-7)$, если функция $f$ является:

1) чётной,

2) нечётной.

1) чётной

По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

В нашем случае необходимо найти $f(-7)$. Так как функция $f$ чётная, то для неё справедливо равенство:

$f(-7) = f(7)$

Согласно условию задачи, $f(7) = -16$. Следовательно, подставив это значение в равенство, получаем:

$f(-7) = -16$

Ответ: -16

2) нечётной

По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

В нашем случае необходимо найти $f(-7)$. Так как функция $f$ нечётная, то для неё справедливо равенство:

$f(-7) = -f(7)$

Согласно условию задачи, $f(7) = -16$. Следовательно, подставив это значение в равенство, получаем:

$f(-7) = -(-16) = 16$

Ответ: 16

1.4. Функция f чётная. Может ли выполняться равенство:

1) $f(2) - f(-2) = 1;$

2) $f(5) \cdot f(-5) = -2;$

3) $\frac{f(1)}{f(-1)} = 0?$

По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

1) Рассмотрим равенство $f(2) - f(-2) = 1$.
Поскольку функция $f$ чётная, то должно выполняться условие $f(-2) = f(2)$.
Подставим это свойство в данное равенство:
$f(2) - f(2) = 1$
$0 = 1$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что исходное равенство не может выполняться для чётной функции.
Ответ: нет, не может.

2) Рассмотрим равенство $f(5) \cdot f(-5) = -2$.
Так как функция $f$ чётная, то $f(-5) = f(5)$.
Подставим это свойство в данное равенство:
$f(5) \cdot f(5) = -2$
$(f(5))^2 = -2$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(f(5))^2 \ge 0$. Равенство $(f(5))^2 = -2$ для действительных функций невыполнимо.
Ответ: нет, не может.

3) Рассмотрим равенство $\frac{f(1)}{f(-1)} = 0$.
Во-первых, чтобы данное выражение было определено, знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $f(-1) \ne 0$.
Поскольку функция $f$ чётная, то $f(1) = f(-1)$. Следовательно, если $f(-1) \ne 0$, то и $f(1) \ne 0$.
Во-вторых, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Из равенства $\frac{f(1)}{f(-1)} = 0$ следует, что $f(1) = 0$.
Возникает противоречие: с одной стороны, для существования дроби и чётности функции необходимо $f(1) \ne 0$, а с другой стороны, для равенства дроби нулю необходимо $f(1) = 0$. Одновременное выполнение этих условий невозможно.
Ответ: нет, не может.

1.5. Функция f чётная. Обязательно ли выполняется равенство $ \frac{f(1)}{f(-1)} = 1 $?

1.5.

По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. При этом область определения должна быть симметрична относительно нуля.

Из определения чётной функции следует, что $f(1) = f(-1)$.

Рассмотрим данное в условии равенство: $\frac{f(1)}{f(-1)} = 1$.

Это равенство можно переписать, используя свойство чётности: $\frac{f(1)}{f(1)} = 1$.

Данное равенство будет верным только в том случае, если знаменатель дроби не равен нулю, то есть $f(-1) \neq 0$.

Однако, существуют чётные функции, для которых $f(-1) = 0$. В этом случае, так как функция чётная, $f(1)$ также будет равно нулю. Выражение $\frac{f(1)}{f(-1)}$ примет вид $\frac{0}{0}$, что не определено. Поскольку выражение не определено, оно не может быть равно 1.

Приведём контрпример. Пусть $f(x) = x^2 - 1$. Эта функция является чётной, так как $f(-x) = (-x)^2 - 1 = x^2 - 1 = f(x)$.

Найдём значения этой функции в точках $1$ и $-1$:

$f(1) = 1^2 - 1 = 0$

$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$

Для этой функции выражение $\frac{f(1)}{f(-1)}$ не определено, так как знаменатель равен нулю. Следовательно, равенство $\frac{f(1)}{f(-1)} = 1$ не выполняется.

Таким образом, равенство выполняется не для любой чётной функции, а только для тех, у которых $f(-1) \neq 0$.

Ответ: Не обязательно.

1.6. Функция f нечётная. Может ли выполняться равенство:

1) $f(1) + f(-1) = 1;$

2) $f(2) \cdot f(-2) = 3;$

3) $\frac{f(-2)}{f(2)} = 0?$

По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля.

1) Рассмотрим равенство $f(1) + f(-1) = 1$.

Используя свойство нечётной функции, заменим $f(-1)$ на $-f(1)$:

$f(1) + (-f(1)) = 1$

$f(1) - f(1) = 1$

$0 = 1$

Полученное равенство $0 = 1$ является ложным. Следовательно, для нечётной функции такое равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

2) Рассмотрим равенство $f(2) \cdot f(-2) = 3$.

Используя свойство нечётной функции, заменим $f(-2)$ на $-f(2)$:

$f(2) \cdot (-f(2)) = 3$

$-(f(2))^2 = 3$

$(f(2))^2 = -3$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(f(2))^2 \ge 0$. Равенство $(f(2))^2 = -3$ не может быть верным для действительных функций. Следовательно, такое равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

3) Рассмотрим равенство $\frac{f(-2)}{f(2)} = 0$.

Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы её числитель был равен нулю, а знаменатель не был равен нулю. Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:

1. $f(-2) = 0$
2. $f(2) \neq 0$

Рассмотрим первое условие: $f(-2) = 0$. Так как функция $f$ нечётная, то $f(-2) = -f(2)$.

Из $f(-2) = 0$ следует, что $-f(2) = 0$, что равносильно $f(2) = 0$.

Но это противоречит второму условию $f(2) \neq 0$, которое необходимо для того, чтобы знаменатель дроби не был равен нулю. Так как условия противоречат друг другу, такое равенство выполняться не может.

Ответ: не может.

1.7. Является ли чётной функция, заданная формулой $y = x^2$, если её область определения — множество:

1) $[-9; 9];$

2) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty);$

3) $[-6; 6);$

4) $(-\infty; 4]$?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для неё одновременно выполняются два условия:
1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $y = x^2$. Проверим второе условие:
$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.
Второе условие выполняется для всех $x$, при которых функция определена. Таким образом, вопрос о чётности функции в каждом случае сводится к проверке первого условия — симметричности её области определения.

1) $[-9; 9]$

Область определения $D(f) = [-9; 9]$. Этот отрезок является симметричным множеством относительно нуля, так как для любого числа $x$ из этого отрезка ($-9 \le x \le 9$), противоположное ему число $-x$ также принадлежит этому отрезку (поскольку $-9 \le -x \le 9$).
Оба условия для чётной функции выполняются.
Ответ: Да, является.

2) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля. Если $x$ принадлежит этому множеству, то либо $x < -3$, либо $x > 3$.

• Если $x < -3$, то $-x > 3$, значит, $-x$ также принадлежит множеству.
• Если $x > 3$, то $-x < -3$, значит, $-x$ также принадлежит множеству.

Условие симметричности области определения выполняется.
Оба условия для чётной функции выполняются.
Ответ: Да, является.

3) $[-6; 6)$

Область определения $D(f) = [-6; 6)$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, точка $x = -6$ принадлежит этой области определения, однако противоположная ей точка $-x = 6$ не принадлежит, так как правая граница интервала не включена в множество.
Так как не выполнено первое условие (симметричность области определения), функция не является чётной.
Ответ: Нет, не является.

4) $(-\infty; 4]$

Область определения $D(f) = (-\infty; 4]$. Это множество не является симметричным относительно нуля. Например, точка $x = -5$ принадлежит этой области определения, но противоположная ей точка $-x = 5$ не принадлежит, так как $5 > 4$.
Так как не выполнено первое условие (симметричность области определения), функция не является чётной.
Ответ: Нет, не является.

1.8. На промежутке $[2; 5]$ найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = -\frac{10}{x};$

2) $f(x) = \frac{20}{x}.$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом промежутке (отрезке), необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует) и отобрать те, которые принадлежат данному отрезку.
3. Вычислить значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{10}{x}$ на промежутке $[2; 5]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(-\frac{10}{x}\right)' = (-10x^{-1})' = -10 \cdot (-1)x^{-1-1} = 10x^{-2} = \frac{10}{x^2}$.

2. Производная $f'(x) = \frac{10}{x^2}$ никогда не равна нулю. Она не существует в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит промежутку $[2; 5]$. Следовательно, на данном промежутке у функции нет критических точек.

Поскольку $f'(x) = \frac{10}{x^2} > 0$ для любого $x$ из промежутка $[2; 5]$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом промежутке.

3. Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $[2; 5]$:

• Значение на левом конце: $f(2) = -\frac{10}{2} = -5$.
• Значение на правом конце: $f(5) = -\frac{10}{5} = -2$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно -5, а наибольшее равно -2.

Ответ: $f_{наим} = -5$, $f_{наиб} = -2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{20}{x}$ на промежутке $[2; 5]$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{20}{x}\right)' = (20x^{-1})' = 20 \cdot (-1)x^{-1-1} = -20x^{-2} = -\frac{20}{x^2}$.

2. Производная $f'(x) = -\frac{20}{x^2}$ никогда не равна нулю. Она не существует в точке $x=0$, которая не принадлежит промежутку $[2; 5]$. Следовательно, и у этой функции на данном промежутке нет критических точек.

Поскольку $f'(x) = -\frac{20}{x^2} < 0$ для любого $x$ из промежутка $[2; 5]$, функция $f(x)$ является строго убывающей на этом промежутке.

3. Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце промежутка, а наименьшее — на правом.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $[2; 5]$:

• Значение на левом конце: $f(2) = \frac{20}{2} = 10$.
• Значение на правом конце: $f(5) = \frac{20}{5} = 4$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке равно 10, а наименьшее равно 4.

Ответ: $f_{наим} = 4$, $f_{наиб} = 10$.

1.9. Найдите:

1) $\max_{[1;2]}(-x^2 + 6x)$;

2) $\min_{[1;4]}(-x^2 + 6x)$;

3) $\max_{[4;5]}(-x^2 + 6x)$.

Для решения всех трех задач рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = -x^2 + 6x$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$.

Вершина параболы находится в точке $x=3$. Это точка глобального максимума функции. На промежутке $(-\infty; 3]$ функция возрастает, а на промежутке $[3; +\infty)$ — убывает.

1) Требуется найти $\max_{x \in [1; 2]} (-x^2 + 6x)$.

Отрезок $[1; 2]$ полностью лежит на промежутке возрастания функции, так как его правый конец $x=2$ находится левее вершины параболы $x_v=3$. Следовательно, наибольшее значение на этом отрезке достигается в его правом конце, то есть в точке $x = 2$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$f(2) = -(2)^2 + 6(2) = -4 + 12 = 8$.

Ответ: 8.

2) Требуется найти $\min_{x \in [1; 4]} (-x^2 + 6x)$.

Отрезок $[1; 4]$ содержит точку максимума $x_v = 3$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения. Наименьшее значение на данном отрезке будет достигаться на одном из его концов. Необходимо сравнить значения функции в точках $x=1$ и $x=4$.

Вычислим значения на концах отрезка:

$f(1) = -(1)^2 + 6(1) = -1 + 6 = 5$.

$f(4) = -(4)^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$.

Сравнивая полученные значения, находим наименьшее: $\min(5, 8) = 5$.

Ответ: 5.

3) Требуется найти $\max_{x \in [4; 5]} (-x^2 + 6x)$.

Отрезок $[4; 5]$ полностью лежит на промежутке убывания функции, так как его левый конец $x=4$ находится правее вершины параболы $x_v=3$. Следовательно, наибольшее значение на этом отрезке достигается в его левом конце, то есть в точке $x = 4$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$f(4) = -(4)^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$.

Ответ: 8.

1.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2+2x-8$ на промежутке:

1) $[-5; -2];$

2) $[-5; 1];$

3) $[0; 3].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 + 2x - 8$ на заданных промежутках, сначала определим ключевые свойства этой функции.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 8$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -9)$. Это глобальный минимум функции.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке достигаются либо в точках экстремума (для параболы — в вершине), если они принадлежат этому промежутку, либо на его концах.

1) На промежутке $[-5; -2]$.

Абсцисса вершины $x_v = -1$ не входит в промежуток $[-5; -2]$. Так как промежуток $[-5; -2]$ находится полностью левее вершины, функция на этом промежутке монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце промежутка, а наименьшее — на правом.

Вычисляем значения на концах промежутка:

$y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$.

$y(-2) = (-2)^2 + 2(-2) - 8 = 4 - 4 - 8 = -8$.

Ответ: $y_{наиб} = 7$, $y_{наим} = -8$.

2) На промежутке $[-5; 1]$.

Абсцисса вершины $x_v = -1$ входит в промежуток $[-5; 1]$. Поскольку вершина является точкой минимума для данной параболы, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в вершине.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = -9$.

Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах промежутка.

$y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7$.

$y(1) = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.

Сравнивая $7$ и $-5$, видим, что наибольшее значение равно $7$.

Ответ: $y_{наиб} = 7$, $y_{наим} = -9$.

3) На промежутке $[0; 3]$.

Абсцисса вершины $x_v = -1$ не входит в промежуток $[0; 3]$. Так как промежуток $[0; 3]$ находится полностью правее вершины, функция на этом промежутке монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом.

Вычисляем значения на концах промежутка:

$y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 - 8 = -8$.

$y(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.

Ответ: $y_{наиб} = 7$, $y_{наим} = -8$.